Une fois qu'un ensemble de nombres est construit, comme les entiers naturels, relatifs, les nombres rationnels ou réels, il est possible de manipuler ces éléments pour effectuer des opérations. Pour cela, une opération sur un ensemble permet à partir de deux éléments d'en obtenir un troisième. Ainsi, à partir d'un couple d'éléments (a,b) d'un ensemble E, une opération permet d'obtenir un nouvel élément c de l'ensemble E, qui est le résultat de l'opération. Les deux éléments initiaux sont appelés les opérandes. Une opération, ou une loi de composition interne, est donc une application définie sur le produit cartésien et à valeur dans E :

On précise que la loi est interne pour exprimer qu'à deux éléments de E est associé un troisième, qui est toujours dans le même ensemble. Par exemple, la somme et la multiplication de deux entiers naturels donnent un entier naturel. Le produit scalaire de deux vecteurs de  n'est pas une loi interne, car cette loi associe à deux vecteurs de un nombre réel, et non un vecteur de . Par contre, le produit vectoriel est bien une loi de composition interne.

Une opération interne de l'ensemble E est définie sur le produit cartésien . Le produit cartésien de deux ensembles X et Y étant l'ensemble de tous les couples (x,y) tels que x est un élément de X et y un élément de Y. Il est important de remarquer qu'un couple est ordonné : si une opération est définie sur le couple alors la première composante du couple appartient à X et la deuxième à Y. L'ensemble qui contient x et y et qui n'est pas ordonné est noté, pour le distinguer du couple, avec des accolades : {x,y}. Il est dans ce cas appelé paire. La paire {x,y} est alors la même que {y,x}, tandis que le couple (x,y) est distinct de (y,x). Un mathématicien parlerait donc d'un couple de chaussures, plutôt que d'une paire, pour pouvoir distinguer la chaussure droite de la chaussure gauche.

Un ensemble muni d'un loi de composition interne est parfois appelé magma. L'ensemble des entiers naturels muni de l'addition, , est donc un magma. Il en va de même pour , qui est le même ensemble muni de la multiplication, tandis qu'avec la soustraction et la division (respectivement et ), il n'en est plus un. Un autre exemple d'ensemble qui est un magma lorsqu'il est muni de l'addition ou de la multiplication est l'ensemble des entiers pairs , puisque l'addition et la multiplication de deux nombres pairs ont à chaque fois pour résultat un nombre pair.

On a défini une opération pour deux éléments. Lorsqu'une loi opère sur plus de deux éléments, les opérations doivent être effectuées dans un certain ordre, qui est indiqué par les parenthèses. Ainsi, dans l'expression (a T b) T c, on effectue d'abord l'opération a T b, qui donne un premier résultat. Puis, si d = (a T b), on effectue ensuite d T c.

Dans l'expression (a T b) T c, le symbole d'opération T apparaît deux fois, ce qui correspond au nombre de fois que l'opération sera effectuée. Usuellement, la loi de composition T est placée entre les opérandes sur lesquelles elle agit. Cette notation est appelée notation infixée. On peut aussi considérer que l'opération T opère sur les 3 éléments simultanément. La notation préfixée met cela en valeur : T a b c. Elle est aussi appelée notation polonaise, car elle fut d'abord utilisée par le mathématicien polonais Jan Lukasiewicz (1878 - 1956). Par exemple, le langage de programmation Lisp utilise la notation préfixée avec parenthèses. Dans ce langage, l'expression (* 3 (+ 10 5) ) correspondra alors à : 3 * (10 + 5). Il est aussi possible de placer le symbole T après les opérandes, ce qui donne la notation postfixée, ou polonaise inversée : a b c T. Le langage PostScript utilise ainsi cette notation. Ces deux dernières notations présentent l'intérêt de ne pas utiliser de parenthèses lorsqu'une même opération est appliquée à plus de deux opérandes.

Dans ces exemples, la loi de composition opère sur trois éléments. En informatique, on parle de l'arité d'un opérateur pour désigner son nombre d'arguments. Dans les exemples précédents, l'opérateur est ainsi ternaire. Un opérateur unaire accepte un seul argument. Par exemple, le symbole - utilisé pour l'opposé est unaire : -2 pour l'opposé de 2.

Une opération est associative si l'ordre dans lequel sont effectuées les opérations ne modifie pas le résultat, c'est-à-dire que :  (a T b) T c = a T (b T c). L'addition et la multiplication sont associatives, car : (a + b) + c = a + (b + c) et . La soustraction ne l'est pas, car :

De même, le produit vectoriel n'est pas associatif.

Un ensemble muni d'une loi de composition interne associative est appelé demi-groupe ou semi-groupe. Puisque la loi $+$ des entiers naturels est une loi qui est interne et associative, est un demi-groupe ; tout comme , car la loi + possèdent ces mêmes propriétés pour les entiers pairs.