Une application des combinaisons est le développement du binôme :  (a + b)n. Ce polynôme est appelé binôme, car il est composé de deux termes. Pour le développer, on peut écrire cette expression sous la forme du produit :

(a + b) (a + b) ... (a + b).

Afin de n'oublier aucun terme, on les ordonne selon les puissances décroissantes de a. Le premier terme est donc an. Pour l'obtenir, on prend le terme a dans chaque facteur (a + b). Il n'y a alors pas le choix pour former le terme contenant an, qui ne peut être formé que d'une seule façon. Le coefficient devant an est donc 1.

Le deuxième terme est de la forme an-1 b. Pour obtenir une seule fois b, on doit choisir un facteur (a + b) parmi les n, où b sera pris. Dans tous les autres facteurs, on prendra a. On doit donc choisir un facteur parmi les n dans lequel on prendra b. Une fois le facteur choisi pour b, on prend tous les autres pour obtenir an-1, ce qui ne laisse plus le choix pour obtenir les a. Il y aura ainsi possibilités, c'est-à-dire n, pour choisir le facteur qui permettra d'obtenir le b du monôme an-1 b.

Pour obtenir le k ème facteur, qui est de la forme ak bn-k, on devra choisir k facteurs parmi n où l'on prendra b. Le coefficient devant ak bn-k est donc .

Par exemple, si l'on veut développer le binôme : (a + b)3, le terme a est pris dans les 3 facteurs pour obtenir a3. Pour former le terme suivant a2 b, il faut choisir un facteur (a + b) parmi les 3 présents pour obtenir b ; quand celui-ci est choisi, les a sont pris dans les 3 autres facteurs. Il y a donc 3 possibilités pour choisir le facteur où l'on prend b. De même, le coefficient devant a b2 est 3, car pour choisir 2 facteurs parmi 3, il y a 3 possibilités. Enfin, il n'y a qu'une seule possibilité pour obtenir b3, car il faut prendre tous les facteurs.

On observe qu'il y a une symétrie dans les coefficients, puisqu’on a :

Le premier coefficient est ainsi le même que le dernier, le deuxième est le même que l'avant-dernier, ... En effet, il revient bien au même de choisir les k facteurs où l'on choisit les a, que de choisir les (n - k) facteurs où l'on choisit les b, pour obtenir le monôme ak bn - k. On a peut donc écrire dans le développement :

ou

selon que l'on considère le nombre de façons de choisir les a ou de choisir les b pour former les termes de la forme ak bn - k

On obtient les coefficients du développement par la formule  du binôme de Newton :

Une façon de trouver les coefficients qui interviennent dans cette formule est d'utiliser le triangle de Pascal. Blaise Pascal lui consacre un livre entier en 1623 : le Traité du triangle arithmétique, mais qui ne sera publié qu'à titre posthume en 1665 par Guillaume Desprez. Dans ce livre, Pascal introduit aussi le raisonnement par récurrence. Le triangle était cependant déjà connu des mathématiciens persans, comme Omar Khayyam au XI ème siècle qui l'utilise pour développer (a + b)n. En 1685, Isaac Newton généralisa la formule à des exposants non entiers, ce qu'on appelle la formule du binôme généralisée.

Le triangle de Pascal est construit selon la formule de récurrence :

Pour comprendre cette relation entre les coefficients, on peut utiliser le fait que si deux ensembles sont disjoints, on peut faire la somme de leur cardinaux. Si A et B sont deux ensembles disjoints alors :

Pour utiliser cette propriété pour calculer le cardinal d'un ensemble, on partage l'ensemble dont on souhaite calculer le cardinal en deux ensembles disjoints pour pouvoir faire la somme de leur cardinal.

Considérons un ensemble E dont on souhaite donner l'ensemble de toutes les combinaisons. Soit un élément x de l'ensemble E. Les combinaisons peuvent alors être partagées entre les combinaisons contenant l'élément x et les combinaisons ne contenant pas cet élément.

Pour former les combinaisons contenant l'élément x, une fois l'élément x choisi, il reste (k - 1) éléments à choisir parmi les n restants, c'est-à-dire qu'il y a combinaisons contenant l'élément x. Pour les combinaisons qui ne contiennent pas l'élément x, on choisit k éléments parmi tous les éléments sauf x, il y a donc combinaisons sans l'élément x. On retrouve donc la somme :

Par exemple, si on considère l'ensemble E = {a,b,c,d}, on peut d'abord considérer toutes les combinaisons contenant l'élément a : {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, puis celles ne contenant pas l'élément a : {b,c,d}. On a ainsi former toutes les combinaisons de l'ensemble E et en peut voit qu'il y en 4 dont 3 contiennent l'élément a et une seule qui ne le contient pas.

On trouve sur les site image des mathématiques des billets sur le triangle de Pascal : le triangle de Pascal, devinette en chiffres arabes.