Les combinaisons ont une importance fondamentale en probabilité, puisqu'elles permettent de faire certains dénombrements, c'est-à-dire de compter le nombre d'éléments d'ensembles. L'étude des combinaisons a commencé à être traitée de façon rigoureuse avec le développement des probabilités au XVIIe siècle, notamment avec Blaise Pascal et Pierre de Fermat, qui échangèrent des lettres à propos de problèmes de jeux de hasard et d'espérance de gain. Dans leur correspondance, ils cherchent par exemple à résoudre le problème des partis : on considère ainsi que deux joueurs jouent à un jeu de hasard en 3 parties gagnantes (par exemple à pile ou face). Chacun a misé la moitié d'un enjeu total S, et le premier qui a gagné n parties obtient la somme totale S. Or, pour une raison quelconque, le jeu doit être interrompu avant la victoire de l'un d'eux. Il faut alors faire le parti, c'est-à-dire le partage de l'enjeu total entre les deux joueurs. En 1655, au cours d'un voyage en France, Christiaan Huyghens prend connaissance de la correspondance de Pascal et Fermat. En 1657, il publie un livre sur le calcul des probabilités : De ratiociniis in ludo aleae (Sur le calcul dans les jeux de hasard). Il y définit et utilise la notion d'espérance, mais il ne prétend pas pour autant être l'inventeur du calcul des probabilités qu'il attribue à Pascal et Fermat.

Les combinaisons sont enseignées en terminale, mais les modifications du programme ont rendu ce sujet obscur. La formule

y est donnée sans aucune explication. Elle doit donc être apprise par cœur sans être comprise. C'est que pour comprendre les combinaisons, il faut d'abord parler des arrangements. Seulement, depuis quelques années, les arrangements ont été supprimés du programme du lycée, ce qui fait qu'il est impossible de justifier la formule des combinaisons. Les réformes qui se suivent suppriment ainsi des choses qui permettent d'en comprendre d'autres. Chaque notion est alors de moins en moins comprise. On peut choisir pourquoi pas de simplifier le programme, mais en profiter alors pour mieux comprendre les notions enseignées, ce qui n'est pourtant pas le cas.

La seule amélioration apportée est peut être l'utilisation de la notation internationale

au lieu de la notation française, et qui sont apparues en 1904 dans  l'encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, publiée de 1904 à 1916 sous la direction de Jules Molk. La notation internationale est proche de celle d'Euler qui utilisa la notation :

Cette notation s'est simplifiée en au 19ème siècle pour donner la notation internationale.

Les bons (?) livres du supérieur expliquent que les combinaisons sont le nombre d'injections d'un ensemble à k éléments dans un ensemble en possédant n. Tout cela donnent des définitions qui sont la plupart du temps présentées de façon abstraite sans référence à un sujet concret. Il serait tout de même plus parlant de commencer par expliquer que les combinaisons permettent de calculer la probabilité de gagner au loto. Mais cela n'explique pas encore la formule et pourquoi il y a un k! au dénominateur. Pour comprendre cette formule, avant de jouer au loto, il faut commencer par jouer au tiercé afin de voir concrètement la différence. Ce qui permettra par la suite de justifier les formules employées. Ce dernier cas du loto correspond aux arrangements.

Le mot arrangement est bien de la même famille que le verbe ranger, puisqu'il s'agit de donner les numéros dans le bon ordre. Ce qui n'est pas le cas au loto où les numéros sont simplement cochés sur la grille sans tenir compte de leur ordre de sortie au moment du tirage.

Pour donner un exemple simple, considérons un exemple avec 5 chevaux pendant la course. Le but est alors de donner les 3 premiers chevaux dans l'ordre de leur arrivée. On peut alors donner l'ensemble de toutes les possibilités. Par exemple, toutes celles qui commencent par 1 :

(1, 2, 3) ;  
(1, 2, 4) ; 
(1, 2, 5) ; 
(1, 3, 2) ;  
(1, 3, 4) ;
(1, 3, 5) ; 
(1, 4, 2) ;
(1, 4, 3) ;
(1, 4, 5) ; 
(1, 5, 2) ; 
(1, 5, 3) ;
(1, 5, 4).

On voit alors qu'il y en a 12. De même, on pourrait donner toutes les possibilités commençant par 2, celles par 3, par 4 et par 5. À chaque fois, il y en aussi 12. Ce qui donne 60 arrangements au total.

Pour choisir le premier cheval, il y a 5 possibilités. Une fois le premier cheval choisi, le deuxième est à choisir parmi les 4 restants. Quand les deux premiers chevaux sont choisis, le troisième est choisi parmi les 3 restants. Ainsi le nombre total d'arrangements possibles est :

On peut exprimer ce résultat avec les factorielles qui sont définies par le produit :

Cette notation est due à Christian Kramp dans Éléments d'arithmétique universelle publié en 1808. Si l'expression 5! est ajoutée au numérateur, les facteurs 2 et 1 seront en trop. Pour les supprimer, il faudra alors diviser par 2!. Ce qui donne alors pour cet exemple :

La formule générale des arrangements est alors donnée par : 

Dans le cas du loto, l’ordre des numéros n'a cette fois plus d'importance. Il y a alors des combinaisons qui sont identiques. Par exemple, il y a 6 combinaisons qui sont identiques à (1,2,3)

(1, 2, 3) = (1,3,2) = (2,1,3) = (2,3,1) = (3,1,2) = (3,2,1).

À chaque fois, pour un arrangement, il y a 6 façons de changer l'ordre des chiffres. Ce sont les permutations que l'on peut former avec 3 chiffres différents. Pour passer des arrangements aux combinaisons, il faut donc supprimer les éléments identiques, qui sont les permutations. Il s'agit alors de savoir combien de sous-ensembles contenant chacun k éléments il est possible de former avec un ensemble en contenant initialement p. C'est une des utilités de la division : il y aura p/k sous-ensembles contenant chacun k éléments. Ainsi, s'il y a 60 éléments au départ, qui correspondent aux arrangements de 3 éléments parmi 5, pour trouver les combinaisons de 5 éléments parmi 3, on cherche à savoir combien il est possible de former de sous-ensembles contenant chacun 6 éléments : il y en a alors 60/6 = 10.

Ainsi, pour passer des arrangements aux combinaisons il faut supprimer les permutations de k éléments qui sont des doublons pour les combinaisons, c'est-à-dire des éléments identiques. Ce qui justifie la formule des combinaisons :