Si on regarde un cours de mathématiques de terminale, on est assez étonné que la définition du mot bijection n'est à aucun moment donnée. Pourtant, on demande d'utiliser cette notion en exercice.

La définition rigoureuse d'une bijection est donnée en première année de fac, où on explique qu'une fonction bijective est d'être à la fois une injection et une surjection. Comme cette définition exacte n'est donnée que plus tard, on ne la donne plus en terminale.

Pourtant, dans le dictionnaire Larousse, à bijection, on peut lire : une application bijective est une application qui établit entre les éléments de deux ensembles une correspondance telle que tout élément de l'un a un correspondant et un seul dans l'autre ensemble. Cette définition est exacte et est tout à fait compréhensible.

On se rend donc compte que l'excuse de dire qu'on ne peut pas donner de définition rigoureuse en terminale ne tient pas, puisqu'on peut le faire sans introduire de nouvelles notions.

De plus, le dictionnaire donne un synonyme de bijection : application biunivoque. Univoque est le contraire d'équivoque, c'est-à-dire qu'un mot univoque conserve le même sens dans des emplois différents. Le préfixe bi- signifie qu'une application bijective est équivoque dans les deux sens : à un x correspond un seul y et inversement à un y correspond un seul x. On comprend donc mieux ce que veut dire le mot bijection : on retrouve le préfixe bi- qui indique une même opération dans les deux sens. Le suffixe -jection est de la même famille que jeter : on  jette un x sur un y, et inversement on jette un y sur un x.

Les anglo-saxons, qui ne cherchent pas à tout compliquer, utilisent le mot one-to-one correspondence pour fonction bijective : à un, elle associe un. Si l'on voulait être plus précis, il faudrait indiquer aussi : one-backward-one, qui permettrait d'indiquer qu'à un y correspond un seul x. Alors que one-to-one indique qu'a un x correspond un seul y.

Les bijections servent essentiellement à deux choses :

  1. à démontrer que l'équation E(X) = y admet une solution unique quand la fonction E est une bijection ;
  2. à montrer que la fonction f admet une fonction inverse lorsque f est une bijection : ainsi la fonction ln possède une fonction inverse qui est l'exponentielle

À force de ne leur donner aucune définition précise, certains élèves en viennent à tout confondre : équation, fonction, variable, inconnue, ...  Pense-t-on que parce que les mathématiques possèdent une certaine abstraction, on ne peut utiliser des mots précis ? Seulement, si on ouvre un dictionnaire, toutes ces définitions sont données. On ne peut pas faire autrement que d'ancrer la compréhension sur le langage.