La fin de l'article sur les dérivées se montre critique sur l'enseignement. Le but n'est pas seulement de critiquer un enseignement qui n'est pas toujours facile. Seulement, les mathématiques enseignées au lycée finissent par devenir des méthodes, ou des sortes de recettes, à appliquer sans comprendre pour résoudre un exercice donné. Pour Henri Poincaré,

La science a eu de merveilleuses applications, mais la science qui n'aurait en vue que les applications ne serait plus de la science, elle ne serait plus que de la cuisine.

L'application devient bien pauvre quand il s'agit de résoudre des exercices types. Mais il est très difficile de trouver de l'intérêt et une quelconque satisfaction à quelque chose que l'on ne comprend pas.

Certains élèves s'en sortent, et ont parfois de très bonnes notes, en apprenant par cœur ces méthodes, sans avoir réellement compris les notions fondamentales. D'autres ne voient pas l'intérêt d'apprendre un cours que l'on ne comprend pas et qui ne sert pas à résoudre les exercices. Ainsi, dans le cas de la dérivée, la définition utilisant le taux d'accroissement est rarement utilisée en exercice. La définition de la dérivée, qui permet de donner une approximation linéaire de la fonction au voisinage d'un point :

n'est jamais utilisée en terminale. La dérivée est utilisée pour l'étude des variations d'une fonction et devient des + et des - dans un tableau pour tracer des flèches. Des exercices peuvent être résolus (notamment, l'exercice de 10 points au bac sur les études de fonctions) en associant le + à une flèche ascendante et le - à une flèche descendante, sans avoir compris qu'une fonction croissante admet une dérivée dont le coefficient directeur est positif.

De plus, les mathématiques sont devenues un outil de sélection, parfois même pour des filières où les mathématiques ne seront pas importantes. Or, il est bien difficile de juger de la capacité ou de l'intelligence de quelqu'un qui résout un exercice ou qui réussit un examen à un jour précis.

Il est dommage que les cours ne montrent pas le réel intérêt des mathématiques. Pour William Paul Thurston :

L'intérêt de la réflexion et la formation d'un esprit Il y a une joie réelle à faire des mathématiques, à apprendre de nouvelles méthodes de pensée qui expliquent, organisent et simplifient. On peut ressentir cette joie en découvrant de nouvelles mathématiques, (…) ou en trouvant une nouvelle façon d’expliquer (…) une structure mathématique ancienne.

Henri Poincaré critiquait déjà l'abstraction des définitions données aux étudiants. Il vaut mieux parfois commencer par donner des définitions plus intuitives et approximatives qui permettront de montrer le cheminement des idées. Dans Science et Méthode :

Nos pères croyaient savoir ce que c'est qu'une fraction, ou que la continuité, ou que l'aire d'une surface courbe ; c'est nous qui nous sommes aperçu qu'ils ne le savaient pas. De même nos élèves croient le savoir quand ils commencent à étudier sérieusement les mathématiques. Si, sans autre préparation, je viens leur dire : Non, vous ne le savez pas ; ce que vous croyez comprendre, vous ne le comprenez pas ; il faut que je vous démontre ce qui vous semble évident, et si dans la démonstration je m'appuie sur des prémisses qui leur semblent moins évidentes que la conclusion, que penseront ces malheureux ? Ils penseront que la science mathématique n'est qu'un entassement arbitraire de subtilités inutiles ; ou bien ils s'en dégoûteront ; ou bien ils s'en amuseront comme d'un jeu et ils arriveront à un état d'esprit analogue à celui des sophistes grecs.

Il est aussi important de montrer l'intérêt et l'utilité des notions utilisées. Toujours dans Science et Méthode, Poincaré écrit:

Il y a une chose qui me frappe : c'est combien les jeunes gens qui ont reçu l'éducation secondaire sont éloignés d'appliquer au monde réel les lois mécaniques qu'on leur a enseignées. Ce n'est pas seulement qu'ils en sont incapables ; ils n'y pensent même pas. Pour eux le monde de la science et celui de la réalité sont séparés par une cloison étanche. Il n'est pas rare de voir un monsieur bien mis, probablement bachelier, assis dans une voiture en s'imaginant qu'il l'aide à avancer en poussant sur l'avant, et cela au mépris du principe de l'action et de la réaction.

Ce qui rend difficile de lire un cours de mathématiques est qu'il se présente de manière déductive. Il montre le produit fini tel qu'il apparaît après un long déroulement fait de tâtonnements, d'erreurs, totalement cachés de l'enseignement. Pour Gian Carlo Rota :

Nous entendons souvent dire que les mathématiques consistent à prouver des théorèmes. Le travail d'un écrivain serait-il d'écrire des phrases ? L'œuvre d'un mathématicien est surtout un enchevêtrement de conjectures, d'analogies, de souhaits et de frustrations ; la démonstration, loin d'être le noyau de la découverte, n'est souvent que le moyen de s'assurer que notre esprit ne nous joue pas des tours.

Celui qui s'exprime le mieux la-dessus est sans doute Alexandre Grothendieck qui s'exprime en détails sur de nombreux sujets à propos des mathématiques dans son autobiographie de presque 1000 pages intitulée Récoltes et Semailles :

La deuxième chose sur laquelle je sentais le besoin de m’exprimer, dans ma fameuse introduction personnelle et philosophique à un texte mathématique, c’était au sujet de la nature du travail créateur justement, Je m’étais rendu compte déjà, depuis des années, que cette nature était généralement ignorée, occultée par des clichés à tout venant et par des répressions et des peurs ancestrales. (...) cette partie créatrice entre toutes dont je viens de parler dans le travail de découverte, ne transparaît pratiquement nulle part dans les textes ou discours qui sont censés présenter un tel travail (ou du moins, ses fruits les plus tangibles) ; que ce soient des manuels et autres textes didactiques, ou les articles et mémoires originaux, ou les cours oraux et exposés de séminaires etc. Il y a, depuis des millénaires semblerait-il, depuis les origines même de la mathématique et des autres arts et sciences, une sorte de "conspiration du silence" autour de ces inavouables labeurs qui préludent à l’éclosion de toute idée nouvelle, grande ou petite, venant renouveler notre connaissance d’une portion de ce monde, en création perpétuelle, où nous vivons.
Pour tout dire, il semblerait que la répression de la connaissance de cet aspect-là ou de ce stade-là, le plus crucial de tous dans tout travail de découverte (et dans le travail créateur en général) ; soit à tel point efficace, à tel point intériorisé par ceux-là même qui pourtant connaissent un tel travail de première main, que souvent on jurerait que même ceux-là en ont éradiqué toute trace de leur souvenir conscient. Un peu comme dans une société puritaine à outrance, une femme aurait éradiqué de son souvenir, en relation à chacun de ces enfants qu’elle se fait un devoir de moucher et de torcher, le moment de l’étreinte (subie à contre-cœur) qui le fit concevoir, les longs mois de la grossesse (vécue comme une inconvenance), et les longues heures de l’accouchement (endurées comme un peu ragoûtant calvaire, suivi enfin d’une délivrance).

Dans le même chapitre, il parle même de dégradation du milieu mathématique :

L’aspect de cette dégradation auquel je pense surtout ici (qui en est juste un aspect parmi de nombreux autres) est le mépris tacite, quand ce n’est la dérision sans équivoque, à l’encontre de ce qui (en mathématique, en l’occurrence) ne s’apparente pas au pur travail du marteau sur l’enclume ou sur le burin - le mépris des processus créateurs les plus délicats (et souvent de moindre apparence) ; de tout ce qui est inspiration, rêve, vision (si puissantes et si fertiles  soient-elles), et même (à la limite) de toute idée, si clairement conçue et formulée soit-elle : de tout ce qui n’est écrit et publié noir sur blanc, sous forme d’énoncés purs et durs, répertoriables et répertoriés, mûrs pour les banques de données engouffrées dans les inépuisables mémoires de nos mégaordinateurs. Il y a eu (pour reprendre une expression de C.L. Siegel) un extraordinaire aplatissement, un rétrécissement de la pensée mathématique, dépouillée d’une dimension essentielle, de tout son versant d’ombre, du versant féminin. Il est vrai que par une tradition ancestrale, ce versant-là du travail de découverte restait dans une large mesure occultée, personne (autant dire) n’en parlait jamais - mais le contact vivant avec les sources profondes du rêve, qui alimentent les grandes visions et les grands desseins, n’avait jamais encore (à ma connaissance) été perdu. Il semblerait que dès à présent nous soyons déjà entrés dans une époque de dessèchement, où cette source est, non point tarie certes, mais eu l’accès à elle est condamné, par le verdict sans appel du mépris général et par les représailles de la dérision.
Nous voilà approcher du moment, semble-t-il, où sera éradiqué en chacun non seulement le souvenir de tout travail proche de la source, du travail au féminin (ridiculisé comme vaseux, mou, inconsistant -ou au bout opposé comme trivialités, enfantillages, bombinage ... ), mais où sera extirpé également ce travail même et ses fruits : celui où sont conçues, s’élaborent et naissent les notions et les visions nouvelles. Ce sera l’époque aussi où l’exercice de notre art sera réduit à d’arides et vaines exhibitions de poids et haltères cérébraux, aux surenchères des prouesses pour craquer les problèmes au concours (de difficulté proverbiale) - l’époque d’une hypertrophie surpermacho fiévreuse et stérile, prenant la suite de plus de trois siècles de renouvellement créateur.

Il cherchera alors à réaliser une rédaction où ce travail ne serait pas caché :

Il ne s’agirait plus pour moi, désormais, de présenter des fondations méticuleuses et à quatre épingles pour quelque nouvel univers mathématique en gésine. Ce seraient des carnets de bord plutôt, où le travail se poursuivrait au jour le jour, sans rien en cacher et tel qu’il se poursuit vraiment, avec ses ratés et ses foirages, ses insistants retours en arrière et aussi ses soudains bonds en avant - un travail tiré en avant irrésistiblement jour après jour (et nonobstant les incidents et imprévus innombrables), comme par un invisible fil - par quelque vision élusive, tenace et sûre. Un travail tâtonnant bien souvent, surtout en ces moments sensibles où affleure, à peine perceptible, quelque intuition sans nom encore et sans visage ; ou au départ de quelque nouveau voyage, à l’appel et à la poursuite de quelques premières idées et intuitions, élusives souvent et réticentes à se laisser saisir dans les mailles du langage, alors que c’est justement le langage adéquat pour les saisir avec délicatesse qui souvent fait encore défaut. C’est un tel langage, avant toute autre chose, qu’il s’agit alors de faire se condenser hors d’un apparent néant de brumes impalpables. Ce qui n’est encore que pressenti, avant d’être seulement entrevu et encore moins "vu" et touché du doigt, peu à peu se décante de l’impondérable, se dégage de son manteau d’ombre et de brumes pour prendre forme et chair et poids ...

L'enseignement a aussi pour but de former une capacité de réflexion, une indépendance de penser, une liberté de l'esprit, la formation d'un esprit critique. Selon Henri Poincaré :

La liberté est pour la Science ce que l'air est pour l'animal. La pensée ne doit jamais se soumettre, ni à un dogme, ni à un parti, ni à une passion, ni à un intérêt, ni à une idée préconçue, ni à quoi que ce soit, si ce n'est aux faits eux-mêmes, parce que, pour elle, se soumettre, ce serait cesser d'être.

Ce qui bien plus ambitieux que d'amener 80 % d'une classe d'âge au bac.