Comment calculer l'équation de la tangente en une courbe représentative d'une fonction f donnée ?

Sur cette figure, le seul point que l'on connaît est le point rouge, le point de tangence, qui est commun à la courbe et à la droite. Ce seul point sera utilisé pour déterminer l'équation de la droite tangente à la courbe.

Or, lorsqu'on cherche à calculer l'équation d'une droite, on commence usuellement par calculer son coefficient directeur (ou sa pente). Pour cela, deux points A et B appartenant à cette droite sont nécessaires, puisque le coefficient directeur est donné par l'expression :

si la droite passe par les points A et B de coordonnées respectives et . Le coefficient directeur se calcule ainsi par la différence des ordonnées y sur la différence des abscisses x, ce que l'on peut noter par :

Dans le cas de la tangente, il est impossible d'utiliser directement cette expression pour calculer le coefficient directeur, puisqu'on ne connaît qu'un seul point passant par la tangente : le point de la tangente qui touche la courbe. Le mot tangente vient d'ailleurs du tangere qui signifie toucher, puisqu'au voisinage du point de tangence, la droite ne touche la courbe qu'en ce point.

Pour définir rigoureusement le coefficient directeur de la tangente, la notion de limite est utilisée. Pour cela, on considère deux points appartenant à la courbe représentative de la fonction : le point de tangence A et un autre point B. Supposons alors que les coordonnées du point A soient :

(l'indice 0 est utilisé pour indiquer que ce point est fixé une fois pour toute, c'est-à-dire qu'il ne bougera pas au cours de la construction). De plus, on considère que le deuxième point B, appartenant à la fois à la courbe et à la sécante, est un peu plus loin du point A sur sa droite. Les coordonnées (x,y) de ce point B seront alors notées

où h est un nombre réel positif. Le coefficient de la sécante à la courbe passant par ces deux points A et B est donc :

.

Lorsque le point B se rapproche peu à peu du point A, la sécante (AB) se rapproche de plus en plus de la tangente à la courbe au point A. Quand le point B finit par être confondu avec le point A, la sécante devient la tangente, qui ne coupe le droite qu'en un seul point, le point de tangence A. Le coefficient de cette dernière droite est bien le coefficient de la tangente au point A. C'est cette construction que l'on peut voir sur l'animation ci-dessous, qui provient de la page tangente de Wikipédia (comme la première figure de cet article représentant une courbe et une tangente) (merci en passant à la licence libre GNU).



Cette construction peut être décrite à l'aide de limite suivante :

qui correspond à la limite des coefficients directeurs de chaque sécante (AB) lorsque le point B se rapproche de A ou quand h tend vers 0. Autant de choses dans cette formule si concise et tellement incompréhensible quand elle est vue pour la première fois en première ou en terminale!

Le rapport est la plupart du temps appelé taux d'accroissement. Pourtant, si la fonction f est décroissante au voisinage de A comme c'est le cas sur l'animation, ce taux va décroître au fur et à mesure que B s'approche de A et serait un "taux de décroissance" (comme celui des économies européennes et américaine). Il serait donc plus juste de l'appeler taux de variation.

En calculant cette limite, on obtient le coefficient directeur de la tangente au point A de coordonnées . Ainsi, dans la cas de la fonction , on aura :

En faisant tendre h vers 0 dans cette dernière expression, la dérivée de la fonction est 2x.

La longueur de cet article montre que la notion de dérivée n'est pas une notion simple, qui souvent n'est pas complètement comprise en terminale. Bien souvent, il faut attendre le niveau universitaire pour la maîtriser réellement. À cela, plusieurs raisons. La première, la plus évidente, est que la dérivée est une notion difficile. Seulement, dans les livres de terminale, les explications sur les dérivées sont rarement aussi détaillées. Si elles ne sont pas exposées clairement, comment un élève de terminale les comprendra-t-il par lui-même (surtout pour des notions aussi difficiles) ? On peut difficilement demander aux élèves de retrouver par eux-mêmes des notions, qui ont nécessité parfois des siècles pour être exposées correctement ; bien que l'idée dans ce cas soit de donner, par bonne intention, plus d'autonomie aux élèves. (Sur l'autonomie des élèves, on peut aussi s'étonner que quand un élève propose pour résoudre un exercice une méthode différente que celle vue en cours, il n'a parfois pas les points ; il faut dire qu'un pédagogue n'est jamais à une contradictions près). D'autre part, l'année de terminale passant vite, il est difficile à un professeur d'expliquer, par manque de temps, autant qu'il ou que les élèves le souhaiteraient (surtout que chacun d'entre-eux comprendra à son propre rythme et il est impossible de donner des explications différentes pour chacun).  D'autre part, la plupart du temps, les objectifs d'un chapitre ne sont pas explicités, car là encore on espère que l'élève les trouvera de lui-même. Les bons élèves sont souvent ceux qui comprennent ce qu'on attend d'eux et qui ont bien intégré les règles du système scolaire. Enfin, certains professeurs de mathématiques ne font pas un cours trop clair, car si celui-ci apparaît trop facile, il donne l'impression à l'élève qu'il a tout compris en cours et n'a pas besoin de réviser chez lui. On a l'habitude de dire, peut-être plus pour les études supérieures que pour le secondaire, qu'il faut à un moment donné larguer l'étudiant pour montrer que le sujet traité est difficile et qu'il doit travailler pour comprendre. Les livres de Stella Baruk sur l'enseignement des mathématiques, comme par exemple Échec et maths, sont à lire sur ce sujet. Elle montre que faute de compréhension les élèves en viennent à réciter par cœur un cours et des méthodes qu'ils ne comprennent pas et deviennent alors ce qu'elle appelle des "automaths". Pour des élèves qui n'y comprennent rien, les maths auront peu d'intérêt. Seulement, quand je ne comprends pas un sujet, I can get no satisfaction ... 'Cause I try!