Cette phrase autoréférente est contradictoire. Willard Quine propose une phrase de ce genre : "Yields falsehood when preceded by its quotation" yields falsehood when preceded by its quotation ("Est fausse lorsque précédée par sa propre citation" est fausse lorsque précédée par sa propre citation). Dans Diagonalization and Self-Reference, Raymond Smullyan appelle l'expression x "x" la norme de x. La phrase du titre correspond donc à la norme de "Je ne peux pas écrire".

Regardons l'énoncé :

Je ne peux pas écrire la norme de "Je ne peux pas écrire la norme de".   (1)

Cette phrase possède une propriété importante : son interprétation est identique à son écriture. La phrase du titre affirme que je ne peux pas écrire une partie d'elle-même, tandis que la phrase (1) affirme que je ne peux pas écrire la phrase (1) elle-même. De manière similaire, il existe en informatique des programmes dont la sortie est identique à leur code source : ces programmes sont appelés des quines en hommage au philosophe.

Ce genre de phrase utilise le même procédé que celui utilisé par Gödel pour démontrer le premier théorème d'incomplétude : la diagonalisation. La diagonalisation d'une application f en x consiste à appliquer f à la représentation de f(x). Notons #x la représentation de x : dans le cas de la démonstration de Gödel, #x correspond au nombre de Gödel associé à x ; dans le cas d'un programme informatique, c'est le code source de x ; dans le cas des phrases précédentes, c'est "x". La diagonalisation de f en x est donc : D(f(x)) = f(#f(x)).

Si l'on considère la phrase suivante :

Vous ne lisez pas la diagonalisation de x.   (2)

Sa diagonalisation est la phrase :

Vous ne lisez pas la diagonalisation de "Vous ne lisez pas la diagonalisation de".   (3)

La diagonalisation de la phrase (2) est la phrase (3). La phrase (3) affirme que vous ne lisez pas la phrase (3) elle-même. Ne la lisez donc pas!

Dans la démonstration du théorème de Gödel, l'application considérée est : x est fixé et qui signifie que la formule y n'est pas une démonstration de la formule x.

La diagonalisation de en y donne :
.

Cette dernière assertion affirme d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable.

La diagonalisation permet de construire des énoncés indécidables. Dans le cas d'un système formel où tout est démontré, seules des assertions vraies peuvent être déduites. Aboutir à ce genre d'énoncés conduit à des paradoxes.

Pour se rapprocher du cadre des systèmes formels, il suffit de supposer que je n'écris que des choses justes. Dans ce cas, écrire Je ne peux pas écrire la norme de "Je ne peux pas écrire la norme de" serait impossible. Dans le cas contraire, si je ne l'écris pas, il y aurait des choses justes que je suis incapable d'écrire. L'analogie avec les systèmes formels voudrait dire qu'il existe des propositions vraies qui sont indémontables. Par conséquent, écrire cet énoncé signifie qu'on ne peut pas l'écrire et inversement ne pas l'écrire entraîne qu'on devrait pouvoir le faire.

Que conclure alors de tels énoncés? Si on accepte le principe du tiers exclu toute proposition est soit vraie, soit fausse. En aucun cas, il ne pourrait y avoir de troisième possibilité (ça n'est jamais à moitié juste). Nous sommes alors incapables de décider de la véracité de ses phrases autoréférentes : elles sont indécidables.

Les intuitionnistes avec Luitzen Brouwer remettent en cause le principe du tiers exclu pour ne pas accepter le raisonnement par l'absurde. Dans ce genre de raisonnement, pour démontrer qu'un énoncé est vrai, on démontre que sa contraposé ne peut pas l'être. Ce qui revient à supprimer une double négation. En logique classique, on a l'égalité : non-P est faux est identique à P est vrai. Les intuitionnistes quant à eux refusent d'éliminer cette double négation. Dans cette nouvelle logique, l'implication est acceptée, mais pas la réciproque. Pour un intuitionniste, un énoncé est vrai lorsqu'on peut le démontrer. Avec cette interprétation, l'implication précédente signifie que si P est démontrable alors il est impossible de démontrer qu'il n'y a pas de démonstration de P. Mais affirmer il n'y pas de démonstration que P est faux n'est pas suffisant pour conclure que P est vrai.

Pour David Hilbert, priver le mathématicien du principe du tiers exclu reviendrait à enlever son télescope à l'astronome, son poing au boxeur. Seulement si les intuitionnistes ne l'utilisent pas, c'est pour n'accepter que les démonstrations constructives. Ils éliminent ces démonstrations qui affirment qu'un objet existe sans jamais nous le montrer.