Une fois les nombres rationnels construits, il manque les nombres irrationnels pour obtenir l'ensemble des réels. Le premier à utiliser le terme d'irrationnel est l'évêque de Lisieux Nicolas Oresme dans son Traité sur la sphère tout en s'excusant de transcrire du latin certains mots abstraits qu'il introduit dans la langue française. Cantor nomme les nombres réels en 1883 dans les fondements d'une théorie générale des ensembles afin de les distinguer des nombres imaginaires.

Il existe plusieurs constructions des nombres réels. L'une d'elles est due à Richard Dedekind. La méthode qu'il propose est géométrique : elle exprime que l'ensemble des réels est continu. Une deuxième est due à Charles Méray et Georg Cantor. Dans ce cas, les nombres réels sont vus comme limites de suites de rationnels.

Il fut longtemps difficile de savoir si les irrationnels étaient à considérer comme de véritables nombres. Michael Stifel dans Arithmetica Integra (1544) considère les irrationnels comme des nombres valides :

Il est à juste titre discuté si les nombres irrationnels sont de véritables nombres ou non. En étudiant les figures géométrques, où les nombres rationnels sont utilisés, les irrationnels trouvent leur place, et montrent de manière précise ce que les nombres rationnels sont incapables de montrer... Nous sommes contraint d'admettre qu'ils sont corrects.

Cependant, même s'ils sont corrects, il ne les considère pas comme de véritables nombres, car ils ne pas proportionnels aux nombres rationnels. Pour Simon Stevin, en 1585, une racine quelconque est nombre. Mais pour d'Alembert, en 1751, n'est point un nombre proprement dit, c'est une quantité qui n'existe point, qu'il est impossible de trouver.

Abraham Kästner en 1758 est le premier qui propose de définir les nombres réels de manière arithmétique en se rendant compte qu'un nombre irrationnel est proche d'un rationnel :

On peut considérer le nombre irrationnel comme étant composé de deux parties : l'une, le commencement, est rationnelle et peut être prolongée à volonté de telle sorte que l'autre partie, la fin, qui reste en toute rigueur toujours inconnue, devienne plus petite que toute grandeur donnée. (...) Si X est un nombre irrationnel, A son commencement rationnel, a sa fin inconnue, alors tout ce qui est vrai d'un nombre rationnel tel que A, doit être vrai de X, étant donné que cet A peut constituer une partie aussi considérable que X qu'on le désire, par rapport à laquelle a devient de plus en plus petit et peut donc, pour ainsi dire disparaître.

Pour Kästner, un nombre irrationnel X est la somme d'un nombre rationnel A et d'une partie irrationnel a rendue aussi petite que voulue : X = A + a.

Les nombres rationnels sont dits denses dans l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire que tout nombre réel peut être approché par un nombre rationnel de manière aussi précise qu'on le souhaite. Ainsi, le nombre peut être approché par un nombre rationnel de deux chiffres après la virgule : 3.14. Si cette approximation est insuffisante, on peut considérer 3.141 ou 3.1415 comme approximation rationnelle de .

De même, pour les fonctions, d'après le théorème de Stone-Weierstrass, les polynômes sont denses dans l'ensemble des fonctions continues, ce qui justifie l'utilisation des développements limités.

Kästner ne parle pas encore de limite qui sera définie plus tard par Augustin Cauchy dans son cours d'analyse à l'Ecole Polytechnique. Cauchy définit les infiniment petits qu'il considère comme des variables particulières. Ce sont des variables qui tendent vers 0, mais qui sont considérées comme des intermédiaires disparaissant dans le résultat final.

Méray en 1869 dans Remarques sur la nature des quantités définies par la condition de servir de limites à des variables données et Cantor en 1883 ou en 1872 formalisent les nombres réels en les considérant comme limite d'une suite de nombres rationnels. Par exemple, on peut définir le nombre réel comme la limite de la suite 1, 1.4, 1.41 , 1.414, ... où chaque nombre est rationnel. Cette suite se rapproche indéfiniment de sans jamais l'atteindre. Le nombre réel est ainsi obtenu par approximation successive. La suite construite est une suite de Cauchy, c'est-à-dire que les termes se rapprochent de plus en plus les uns des autres :
.
De telles suites convergent et leur limite est unique.

Pour construire , on considère les classes d'équivalence des suites de Cauchy où les suites de même limite sont équivalentes :
.
L'ensemble correspond alors à l'ensemble quotient des suites de Cauchy par cette relation d'équivalence. Un nombre réel est donc une classe d'équivalence de suite de Cauchy pour la relation .

L'addition et de la multiplication de nombre réels peuvent être définies à partir des suites. Ces opérations posaient problème en considérant le développement décimal d'un nombre réel. En effet, en posant une addition, on commence le calcul par la droite. Ce qui est impossible pour des nombres réels, puisque le développement décimal est infini.

L'addition et de la multiplication des nombres réels sont celles des suites :

.
Cela permet ainsi d'étendre aux nombres réels ces opérations qui sont bien définies pour les nombres rationnels.

Pour la construction des nombres, on pourra aller faire un tour sur le blog Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes qui est très complet.  D'après Wikipédia,

Une troisième construction s'appuie sur la méthode des segments emboîtés. Un emboîtement est une suite décroissante d'intervalles fermés de nombres rationnels dont la longueur tend vers 0. Un nombre réel est alors défini comme une classe d'emboîtements modulo une relation d'équivalence. Selon Mainzer, « la vérification des propriétés de corps ordonnée est relativement pénible », ce qui explique pourquoi cette approche apparaît moins avantageuse que les deux précédentes. Il existe aussi une autre méthode à partir des développements décimaux, cependant l'addition puis la multiplication ne sont pas des opérations simples à définir.

Xavier Caruso donne une autre construction peu connue des nombres réels à l'aide du groupe additif des entiers relatifs .
Enfin, on pourra aussi signaler que pour Jacques Lacan, le non-concept « réel » est tout simplement substantivé au titre d'une hypostase. Un antidote à ce dernier sera Impostures intellectuelles d'Alan Sokal et Jean Bricmont ou Prodiges et vertiges de l'analogie de Jacques Bouveresse.