Les nombres rationnels portent-ils ce nom parce qu'ils seraient plus raisonnables ou plus conformes à la raison que les autres nombres?

On raconte que le pythagoricien qui aurait découvert que la diagonale du carré de côté 1 valait , considéré comme incommensurable, a été jeté par-dessus bord au cours d'une pêche tragique ou encore qu'Hippase de Métaponte a été excommunié, coupable d'avoir découvert ces nombres irrationnels. Léon Brunschvicg, dans Le rôle du pythagorisme dans l'évolution des idées, évoque que cette harmonie entre l'intelligible et le réel sur laquelle reposait leur conception du monde et de la vie, voici qu'elle se rompt avec une évidence contraignante, avec un éclat douloureux et cruel de l'application scrupuleuse des méthodes qui avaient fait l'honneur de l'École.

Pourtant si ces nombres sont rationnels, c'est qu'il y deux sens du mot latin ratio : l'un qui renvoie bien à la raison et un autre qui signifie calcul, compte que l'on retrouve en français dans le mot ratio. C'est aussi par cette dernière étymologie que l'on parle de la raison d'une suite géométrique.

Muni des lois + et ., l'ensemble forme un anneau. Les entiers relatifs ne possèdent pas d'inverse pour la loi multiplicative. Pour former le corps des fractions , on considère l'ensemble des nombres rationnels :

.

Cet ensemble est noté comme quotient.

L'idée pour construire les nombres rationnels est proche de celle utilisée pour la construction des nombres relatifs. Il s'agit de poser une relation d'équivalence sur un espace produit : dans le cas des nombres relatifs, c'était sur l'ensemble des couples d'entiers naturels ; pour les nombres rationnels, ce sera l'ensemble des couples d'entiers relatifs où le second élément du couple est non nul.

Deux couples de seront équivalents si et seulement si leurs produits en croix sont égaux :

.

Sur , des couples étaient équivalents lorsque leurs sommes en croix étaient égales.

L'addition et la multiplication sont définies par :


et
.
Ce qui revient bien aux lois usuelles des fractions :

Les opérations sont alors bien définies si le résultat ne change pas lorsqu'un couple est remplacé par un autre qui lui est équivalent.

Georg Cantor a montré que l'ensemble des rationnels est dénombrable, c'est-à-dire que l'ensemble des nombres rationnels peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels. Puisqu'il est possible d'associer un à un les entiers naturels avec les nombres rationnels, on peut dire qu'il y a le même nombre de rationnels que d'entiers naturels. Cantor nota ce nombre avec la première lettre de l'alphabet hébreu aleph : . Pour plus de détails sur Cantor et l'infini, on pourra lire l'article de Patrick Dehornoy : Cantor et les infinis. Jean-Paul Delahaye donne aussi une introduction à l'infini et ses paradoxes dans l'infini est-il paradoxal?