Aujourd'hui, il est difficile d'imaginer à quel point l'invention des logarithmes fut une révolution dans le domaine du calcul. Pourtant, le logarithme possède une propriété importante : il transforme un produit en une somme. Ainsi, log (xy) = log(x) + log(y). Plutôt que d'effectuer une multiplication, on pourra effectuer une addition en passant par la fonction logarithme.

La notion de logarithme est introduite par John Neper en 1614, à partir d’un exemple issu de la cinématique. Dans son article Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, il compare le mouvement rectiligne de deux points M et M' dont le premier M a une vitesse qui augmente proportionnellement avec la distance qui le sépare d'un point fixe O et dont le second  M' se déplace de manière uniforme vers un point O'. La distance O'M' parcourue par le point M' est alors, selon Neper, le logarithme de la distance OM. Le logarithme a ainsi la propriété de transformer un  mouvement augmentant proportionnellement en un mouvement régulier.



Neper est le premier à calculer une table de logarithme en base e dans l'article Mirifici Logarithmorum Canonis constructio écrit en 1614 et publié en 1619. Il choisit d’appeler les nombres de cette table logarithmes, car il les considère comme des relations entre des nombres. Il utilise alors les racines grecques logos et arithmos et crée le mot logarithmus, puisqu’il écrit en latin. 

Soixante-dix ans avant Neper, en 1544, le moine et mathématicien allemand Michael Stifel (1486–1567) avait déjà publié à Nuremberg un traité de mathématique Arithmetica Integra, où il mettait en relation la suite des entiers avec celle des puissances de 2. Dans cet ouvrage, il montrait comment il est possible de transformer une multiplication en addition. 
Puisque le logarithme transforme un produit en une somme, les calculs s'en trouvent grandement facilités. Ainsi, si l'on veut multiplier 8 par 32, on va chercher pour chacun leur logarithme (en base 2) dans la table, qui se trouve sur la première ligne et dans la même colonne. Ainsi, le logarithme de 8 est 3 et celui de 32 est 5. On calcule la somme des logarithmes, qui dans ce cas est 8. Le résultat de la multiplication de 8 par 32 est alors le nombre admettant 8 pour logarithme, c'est-à-dire le nombre se trouvant sur la deuxième ligne et dans la même colonne que le chiffre 8, soit le nombre 256.

La formule utilisée ici est  :  .

Après la publication des travaux de Neper, le mathématicien anglais Henry Briggs (1561–1630) comprend aussitôt l’intérêt de cette relation entre les nombres et voit ainsi le moyen de faciliter les calculs en transformant les multiplications en additions. Pour simplifier encore plus ces calculs, il suggère à Neper de choisir 10 pour base. En 1615, Briggs calcula la table de ces nouveaux logarithmes décimaux, qu'il publia après une rencontre avec l'inventeur des logarithmes.

Indépendamment de Neper, un suisse, Bürgi, qui avait été assistant de Kepler à Prague, calcula entre 1603 et 1611 une table d'antilogarithme (il appelle ainsi la fonction inverse du logarithme). Cette table fut imprimée dans cette ville en 1620. Facilitant grandement les calculs, notamment ceux des astronomes, les tables de logarithmes connurent alors un succès immédiat.

En l'honneur de Néper, on parle désormais de logarithme néperien (noté ln). La définition moderne le définit à partir de l'intégrale de la fonction 1/x :



Ainsi, le logarithme néperien correspond à l'aire sous l'hyperbole entre 1 et x.


Le premier à mettre en évidence le comportement logarithmique de l'aire sous l'hyperbole est Grégoire de Saint-Vincent en 1647 dans son ouvrage Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum. Il écrit alors : 

Si les abscisses d'une hyperbole équilatère croissent en progression géométrique, les aires des surfaces découpées entre l'hyperbole et son asymptote par les lignes ordonnées correspondantes croissent en progression arithmétique.

C'est-à-dire que l'aire sous l'hyperbole de 1 à 2 ajoutée à l'aire de 1 à 3 donnera l'aire de 1 à 6 ( ln (6) = ln(2) + ln(3) ). Ainsi, si les abscisses suivent une suite géométrique, les surfaces suivront une suite arithmétique. 

Grégoire de Saint-Vincent ne relie pas encore son travail aux logarithmes. Un de ses lecteurs, le jésuite Sarassa mentionnera que les aires hyperboliques peuvent tenir lieu de logarithmes.

Il faudra attendre le milieu du 18e siècle, après l’invention de la notion de fonction et du calcul différentiel, pour que le logarithme soit défini par Euler comme fonction réciproque de la fonction exponentielle. 

La propriété des logarithmes a permis d'inventer la règle à calcul en 1859 par Amédée Mannheim. Les nombres inscrits sur la règle suivent alors une échelle logarithmique pour calculer aisément des produits.

Selon Pierre-Simon Laplace, mathématicien, physicien et astronome français : 

L’invention des logarithmes, en réduisant le temps passé aux calculs de quelques mois à quelques jours, double pour ainsi dire, la vie des astronomes.