L'ensemble des nombres réels forme une droite. La propriété importante de cet ensemble est d'être continu.

Au 15 ème siècle, Nicolas de Cues énonce le principe de continuité dans De mathematica perfectione : une grandeur continue qui évolue entre une grandeur A et une grandeur B prend au moins une fois toute valeur intermédiaire. Dans les Nouveaux essais de l'entendement humain publié en 1764, Leibniz reproche à Euclide de ne donner qu'une image sensible de la droite au lieu d'une définition. Pour le philosophe et mathématicien allemand, rien ne se fait dans la nature tout d'un coup, et c'est une de mes grandes maximes et des plus vérifiées, que la nature ne fait jamais de sauts. J'appelle cela la loi de la continuité.


La continuité sera d'abord définie pour les fonctions par Cauchy dans son cours d'analyse de 1821. Il démonte le théorème des valeurs intermédiaires, sans encore se rendre compte que c'est d'abord une propriété des nombres réels avant d'être une propriété des fonctions.

Une construction rigoureuse de est due à Dedekind en 1872 dans Stetigkeit und irrationale Zahlen (Continuité et nombres irrationnels). Il définit les nombres réels grâce aux coupures :

Si l'on répartie tous les points de la droite en deux classes telles que chaque point de la première soit situé à gauche de chaque point de la deuxième classe, alors il existe un point et un seul qui engendre cette partition de tous les points de la droite, cette découpe de la droite en deux parties.

Une coupure dans le corps des nombres rationnels est définie par deux sous-ensembles non vides et tels que :

  • pour tout  et , on a .
Un exemple de coupure est définie par l'ensemble des nombres rationnels inférieurs à 7 et par l'ensemble des nombres supérieurs ou égaux à 7. Cette coupure possède la propriété  suivante : soit il existe un plus grand élément dans C1, soit il existe un plus petit élément dans C2, qui est 7 dans cet exemple. Inversement, une coupure possédant cette propriété détermine un nombre rationnel.

Il existe des coupures n'ayant pas cette propriété. Ainsi, on peut considérer, l'ensemble des nombres rationnels négatifs plus les nombres rationnels positifs dont le carré est inférieur à 2 et les autres nombres rationnels. Un plus grand élément dans ou un plus petit élément dans devrait satisfaire , ce qui est impossible pour et il ne peut y avoir de plus grand élément dans ou de plus petit dans . Cette coupure crée un nombre irrationnel a tel que . À toute coupure correspond alors un nombre, rationnel  ou irrationnel.

Pour Dedekind,

Chaque fois que nous sommes en présence d'une coupure non produite par un nombre rationnel, nous créons un nombre nouveau, irrationnel x, que nous considérons comme parfaitement déterminé par cette coupure ou qu'il engendre cette coupure.

Une autre construction des nombres réels est due à Cantor et Méray. Dans cette construction, tout nombre réel est la limite d'une suite de Cauchy de nombres rationnels.