Les entiers naturels désignent les nombres entiers positifs . A partir des entiers naturels, on peut construire les nombres relatifs en ajoutant les opposés. Ils sont notés pour le mot allemand die Zahl. La construction des entiers relatifs est due à Dedekind.

Les éléments de ne possèdent pas d'inverse pour la loi +. L'ensemble ajoute l'inverse pour la loi + de chaque élément et sera ainsi un groupe commutatif.


Pour définir les nombres relatifs, on considère l'ensemble des couples d'entiers. Le couple va correspondre au nombre   qui représente la distance entre n1 et n2 ou la longueur de l'intervalle .

Pour obtenir , une relation d'équivalence est ajoutée sur . Le couple est équivalent au couple si . Ainsi, (2;0) = (3;1), car 2 + 1 = 3 + 0. Deux couples sont équivalents si leur sommes en croix sont égales. On a peu l'habitude de parler de somme en croix alors qu'on parle usuellement de produit en croix. L'ensemble des entiers relatifs correspond alors à l'ensemble quotient . Un entier relatif correspond donc à la classe d'équivalence pour la relation.

Sur cet ensemble, les opérations usuelles de somme et produit peuvent être définies. Ainsi, la somme est naturellement définie par.

Le produit est défini par . Par exemple,.

Muni de ces lois, devient un anneau. Cependant, les éléments de ne possèdent pas d'inverse pour la multiplication. Pour cela, il faudra construire l'ensemble des nombres rationnels .

Les nombre négatifs n'ont pas toujours été évidents. Lazare Carnot les pensait absurdes :

Il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Ceci entraînerait une absurdité, par exemple, -3 serait moindre que -2, tandis que (-3)² serait plus grand que 2², le carré de la plus grande serait moindre que le carré de la plus petite et réciproquement, ce qui choque toutes les idées claires qu'on peut avoir de la quantité.