Si a = 0, puisque et , peut-on simplifier l'égalité par a pour obtenir que 1 = 0 ?

C'est bien sûr la simplification par a qui conduit à l'erreur 1 = 0. Pour avoir le droit de simplifier par a, celui-ci doit admettre un inverse. Ainsi, pour faire disparaître a, on doit multiplier par l'inverse de a des deux côtés de l'égalité : . Seulement, dans un anneau, l'élément 0, qui est l'élément neutre de la loi +, est le seul qui n'admet pas d'inverse pour la loi multiplicative. Ainsi, l'égalité implique que a = 0. Cette propriété qui affirme que a . b = 0 implique que a = 0 ou b = 0 est nommée intégrité. L'anneau est donc intègre.

Le mot intègre ne vient pas dans ce cas du français. En effet, pourquoi un anneau pour lequel 0 n'a pas d'inverse pour la loi . posséderait-il plus de moralité que celui qui en admet ? L'adjectif intègre vient ici de l'anglais integer signifiant entier, car l'anneau intègre de référence est l'anneau des entiers relatifs . La lettre utilisée vient par contre de l'allemand Zahl (nombre). L'étude de l'algèbre trouve son origine chez des mathématiciens allemands du 19 ème siècle, comme par exemple, Kummer, Dedekind, Kronecker et Hilbert.

Les nombres entiers, puisqu'ils nous servent à compter, nous paraissent plus naturels que les autres. L'utilisation des nombres négatifs n'est devenue familière que plus tardivement. Leur construction, due à Dedekind, se fait à l'aide des entiers positifs. Les nombres négatifs deviennent ainsi relatifs aux entiers positifs. Selon Léopold Kronecker, "Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l'œuvre de l'homme". Kronecker va lui même plus loin : il ne croit pas non plus en l'existence des nombres transcendants et la construction des nombres réels due à Weierstrass. Ces idées l'amenèrent à s'opposer à Cantor, Dedekind et à Weierstrass qui fut pourtant un de ses amis.


La propriété d'intégrité est très utile pour résoudre des équations. Si on doit résoudre l'équation , on peut se ramener à (x-2)(x+2) = 0, d'où x = 2 ou x = -2.

Ils existent des anneaux qui ne sont pas intègres. Par exemple, dans , [6] . [2] = [12]. Or, la classe de 12 est égale à celle de zéro, car 12 est un multiple de 4, sans que 6 ou 2 ne soient équivalents à 0. On a l'égalité [6] . [2] = [0]. On dira que [6] et [2] sont des diviseurs de 0. L'anneau devient intègre lorsque p est premier.

Tous ces anneaux n'ayant aucune moralité, on laisse au lecteur le soin de trouver la morale de cette histoire, même si d'après Albert Camus : Aucune morale, ni aucun effort ne sont a priori justifiables devant les sanglantes mathématiques qui ordonnent notre condition.