Un polygone est un ensemble de segments inclus dans le plan tel que chaque extrémité de chaque sommet correspond à une extrémité d'un seul autre segment qui est non aligné avec le premier. Un polygone est dit régulier si tous ses côtes sont de même longueur et tous ses angles sont égaux.

Un polyèdre est dit régulier si toute ses faces sont identiques et sont des polygones réguliers, et en chaque sommet s'intersectent le même nombre de faces. Un polyèdre régulier est donc entièrement déterminé par son type de face et le nombre d'arêtes concourant en chaque sommet. La notation de Schläfli tient compte de ces propriétés pour représenter les polyèdres réguliers. Le symbole de Schläfli d'un polyèdre convexe régulier est {p,q} si ses faces sont des polygones avec p arêtes et si en chaque sommet se rencontrent q faces. Le symbole de Schläfli d'un cube est donc {4,3}, puisque chaque face est un carré et 3 faces (et 3 sommets) sont issues de chaque sommet du cube.

En dimension 3, il y a 5 polyèdres réguliers convexes :

  • le tétraèdre ({3,3}),
  • le cube ({4,3}),
  • le octaèdre ({3,4}),
  • le dodécaèdre ({5,3}),
  • le icosaèdre ({3,5}).

Ils sont appelés solides de Platon, qui dans le dialogue Timée (vers 358 avant J.-C.), associe à chacun des quatre éléments (la terre, l'air, l'eau et le feu) un solide régulier. La terre était associée avec le cube, l'air avec l'octaèdre, l'eau avec l'icosaèdre et le feu avec le tétraèdre. Le dodécaèdre est en correspondance avec le Tout, parce que c'est le solide qui ressemble le plus à la sphère. Euclide démontra dans le livre XIII des éléments, le dernier, que ces polyèdres sont exactement au nombre de 5.

En 1596, Johannes Kepler (1571-1630) publie Mysterium Cosmographicum où il propose un modèle de l’univers s’appuyant sur les solides de Platon. A cette époque, six planètes sont connues. Kepler remarque que les sphères représentant les orbites des planètes peuvent contenir les solides de Platon. À Mercure, il associe l'octaèdre, à Venus l'icosaèdre, à Mars le dodécaèdre, à Jupiter le tétraèdre et à Saturne le cube. La terre sert de séparation entre deux groupes de solides.

Pour un polygone convexe régulier à p côtés, la notation de Schläfli est  {p}. Pour représenter des polyèdres étoilés, les fractions sont utilisées. Ainsi, le pentagone étoilé ou pentagramme est représenté par {5/2}, ce qui signifie que ce polyèdre possède 5 arêtes et que chacune de ces arêtes relie les sommets de numéro s et s + 2. Ainsi, la première arête relie le premier et le troisième sommet, la deuxième le troisième et le cinquième, ...

La notation de Schläfli permet aussi de décrire les pavages du plan. Il y a dans le plan 3 pavages réguliers qui ont été décrits précisément par Kepler. Les symboles de Schläfli associés à ces pavages sont : {4,4} pour le pavage carré, {6,3} pour le pavage hexagonale et {3,6} pour le pavage triangulaire.