Lorsque des vecteurs sont déplacés pour être additionnés ou lorsque l'on parle de points, l'espace considéré est un espace affine. Dans un espace vectoriel, les vecteurs sont tous liés à l'origine, alors que dans un espace affine, il n'y a pas d'origine privilégiée. Il n'y a dans un espace vectoriel que le vecteur nul qui peut être considéré comme un point.

L'adjectif affine vient du latin affinis qui veut dire parent (par les liens du mariage), et par extension lié ou associé.

Soit E un espace vectoriel. Un espace affine de direction E est un ensemble A muni d'une application de A \times A dans E :

                                                     (x,y) \mapsto xy

qui vérifie les deux propriétés suivantes :

  1. pour tout x, y, z \in A, xy + yz = xz ;
  2. pour tout x\in A, et pour tout u\in E, il existe un unique y\in A tel que xy = u.

La première propriété correspond à l'égalité de Chasles.

La deuxième propriété permet de définir une addition de A \times E dans A par x + u = y avec y tel que xy = u. L'application définie par T(x) = x + u, qui est une bijection, est la translation de x par le vecteur u.

Dans un espace affine, un vecteur peut désormais être défini à l'aide de deux points A et B. Le couple (A,B) est appelé bipoint où le point A est l'origine du vecteur et B est son extrémité.

L'espace affine est de la même dimension que l'espace vectoriel E.

Un espace vectoriel peut être vu comme un espace affine. L'addition définie de  E \times E dans E vérifie les deux propriétés précédentes.