Le mot de simplexe a été utilisé pour la première fois en 1902 par le mathématicien hollandais Pieter Hendrik Schoute (1846-1913), professeur à l'Université de Groningue.

Un simplexe correspond à l'enveloppe convexe de n+1 points (c'est-à-dire le plus petit ensemble convexe contenant n+1 points) dans un espace de dimension n. Si on ne tient pas compte de la dimension de l'espace dans lequel il se trouve, on parlera de simplexe de dimension n ou de n-simplexe. Ainsi, un 2-simplexe est un triangle, un tétraèdre est un simplexe de dimension 3. Le 4-simplexe est appelé pentachore.

Le n-simplexe est alors le polytope (c'est-à-dire le polyèdre convexe et borné) le plus simple de dimension n que l'on puisse construire, car c'est celui qui possède le plus petit nombre de sommets. Ce qui justifie son nom.

Tous les simplexes de dimension d (pour d est inférieur ou égal à n) appartenant à la  frontière d'un simplexe sont appelés les faces de dimension d ou d-faces du simplexe. Ainsi, la 2-face d'un triangle s'identifie au triangle lui-même, tandis qu'une 1-face est une arête du triangle et une 0-face un sommet.