Nom provisoire

L'ensemble des nombres réels forme une droite. La propriété importante de cet ensemble est d'être continu.

Au 15 ème siècle, Nicolas de Cues énonce le principe de continuité dans De mathematica perfectione : une grandeur continue qui évolue entre une grandeur A et une grandeur B prend au moins une fois toute valeur intermédiaire. Dans les Nouveaux essais de l'entendement humain publié en 1764, Leibniz reproche à Euclide de ne donner qu'une image sensible de la droite au lieu d'une définition. Pour le philosophe et mathématicien allemand, rien ne se fait dans la nature tout d'un coup, et c'est une de mes grandes maximes et des plus vérifiées, que la nature ne fait jamais de sauts. J'appelle cela la loi de la continuité.

La continuité sera d'abord définie pour les fonctions par Cauchy dans son cours d'analyse de 1821. Il démonte le théorème des valeurs intermédiaires, sans encore se rendre compte que c'est d'abord une propriété des nombres réels avant d'être une propriété des fonctions.

Une construction rigoureuse de est due à Dedekind en 1872 dans Stetigkeit und irrationale Zahlen (Continuité et nombres irrationnels). Il définit les nombres réels grâce aux coupures :

Si l'on répartie tous les points de la droite en deux classes telles que chaque point de la première soit situé à gauche de chaque point de la deuxième classe, alors il existe un point et un seul qui engendre cette partition de tous les points de la droite, cette découpe de la droite en deux parties.

Une coupure dans le corps des nombres rationnels est définie par deux sous-ensembles non vides et tels que :

• pour tout  et , on a .

Chaque fois que nous sommes en présence d'une coupure non produite par un nombre rationnel, nous créons un nombre nouveau, irrationnel x, que nous considérons comme parfaitement déterminé par cette coupure ou qu'il engendre cette coupure.

Même si le mot procrastination existe en français depuis le 16 ème siècle, il reste aujourd'hui d'emploi peu fréquent. La procrastination désigne la tendance à repousser une décision ou un action à plus tard. Il est la plupart du temps réservé au langage spécialisé ou soutenu. Pourtant en anglais, ce mot compliqué est bien plus courant, et le verbe procrastinate est aussi employé, tandis que le verbe "procrastiner" n'est dans aucun dictionnaire français. Une meilleure explication de le procrastination est donnée ici.

Procrastination vient du verbe latin procrastinare qui signifie renvoyer au lendemain. Ce verbe est formé à partir de l'adverbe pro qui désigne un mouvement en avant et de cras qui veut dire demain. Le mot cras se retrouve dans crastinus pour désigner ce qui concerne le lendemain et dans procrastinatio signifiant ajournement, délai. Le sens du mot procrastination est ainsi principalement contenu dans la deuxième partie et le préfixe pro vient en amplifier le sens. Les anglais utilisent d'ailleurs aussi le mot crastination comme synonyme de procrastination. Les italiens utilisent le verbe procrastinare identique au latin. Le mot français serait donc soit un des nombreux emprunts du français à l’italien du 16 ème (dus notamment à l'influence de Catherine de Médicis), soit un emprunt direct au latin. Les anglais commencent d'utiliser le terme un peu plus tard que les français.

Classiquement, la procratination n'était pas connotée négativement comme aujourd'hui. Elle était alors un signe de sagesse et de tempérance. Il peut en effet être important de se donner du temps pour la réflexion avant d'agir trop précipitamment. La procrastination, vue comme une attente, n'était pas à l'origine considérée comme de l'inaction. Elle désigne bien plus une stratégie, l'attente du moment propice. L'inaction  physique n'est pas l'inaction intellectuelle.

Le 19 ème siècle emploie souvent le mot de manière ironique ; comme par exemple, Marcel Proust dans le cinquième tome d'À la recherche du temps perdu, La prisonnière : Cette habitude, vieille de tant d'années, de l'ajournement perpétuel, de ce que M. de Charlus flétrissait sous le nom de procrastination.

L'absence d'occupation évolue ainsi de plus en plus vers un signe de paresse. Dans La lenteur, Milan Kundera regrette cette évolution de l'inaction :

Pourquoi le plaisir de la lenteur a-t-il disparu ? Ah, où sont-ils, les flâneurs d'antan ? Où sont-ils ces héros fainéants des chansons populaires, ces vagabonds qui traînent d'un moulin à vent à l'autre et dorment à la belle étoile ? Ont-ils disparu avec les chemins champêtres, avec les prairies et les clairières, avec la nature ? Un proverbe tchèque définit leur douce oisiveté par une métaphore : ils contemplent les fenêtres du bon Dieu. Celui qui contemple les fenêtres du bon Dieu ne s'ennuie pas, il est heureux. Dans notre monde, l'oisiveté s'est transformée en désœuvrement, ce qui est tout autre chose : le désœuvré est frustré, s'ennuie, est à la recherche constante du mouvement qui lui manque.

Cet article est à améliorer. Je le ferai demain ...

Un cardinal désigne un ecclésiastique chargé d'élire et d'assister le pape dans le gouvernement de l'Église. Les cardinaux sont surtout connus pour se réunir en conclave pour élire le nouveau pape. Le mot conclave vient du latin clavis voulant dire clef, car pendant leur délibération les cardinaux sont enfermés à l'abri de tout contact extérieur. Existe-t-il un rapport entre ces cardinaux et les nombres cardinaux : un, deux, trois, quatre, cinq, ...?

Pour comprendre leur relation, il faut déjà comprendre l'étymologie du mot cardinal. En latin ecclésiastique, cardinal se dit cardinalis, qui vient lui même du mot cardo qui veut dire gond, pivot. Il représente donc quelque chose de fixe et d'important. Il est employé au sens figuré pour désigner les cardinaux de l'église qui sont une autorité morale sur laquelle s'appuyer.

Le mot cardinal a d'abord été employé comme adjectif pour désigner ce qui sert de référence. Ainsi, les points cardinaux (nord, sud, est et ouest) servent à désigner la position de tous les autres. Les vents cardinaux sont des vents qui soufflent des quatre points cardinaux. Les quatre vertus cardinales sont la justice, la prudence, la tempérance et la force. L'Église l'utilise ensuite au sens figuré pour désigner certains dignitaires ecclésiastique, comme pontifex cardinalis où cardinalis veut dire principal, ou pour désigner un prêtre affecté d'une manière permanente à une église déterminée : cardinalis sacerdos, ou les évêques suburbicaires, c'est-à-dire soumis à l'autorité de Rome : episcopi cardinales.

À partir du 17 ème siècle, les nombres cardinaux servent à désigner une quantité précise : il y a 25 personnes dans la salle. Le mot cardinal devient un nom au début du 20 ème siècle avec le cardinal d'un ensemble qui correspond au nombre d'éléments qu'il contient. Ces nombres s'opposent aux nombres ordinaux qui servent à indiquer le rang d'un objet dans une collection ou l'ordre d'un événement dans une succession. Le cardinal d'un ensemble peut s'associer à un ensemble quelconque, alors que l'ordinal suppose de poser un ordre sur les éléments de l'ensemble. Cantor exprime bien cette différence  en écrivant :

J'entends par cardinal d'un ensemble M le concept universel ou générique que l'on obtient en faisant abstraction pour l'ensemble aussi bien de la constitution de ses éléments que de toutes les relations que ses éléments ont entre eux ou avec d'autres choses, donc, en particulier aussi, de l'ordre qui règne entre eux, et ne considère que ce qui est commun à tous les ensembles équivalents à M.

- un, qui devient une devant un nom féminin, et

- vingt et cent qui se mettent au pluriel quand :

Ajouté à un nom masculin, le suffixe -ande ou -ende s'oppose à -eur ou -ateur. Ainsi dans une division, le dividende s'oppose au diviseur ; mot qui désigne aussi - peu glorieusement ces temps-ci - les bénéfices versés aux actionnaires.

Moins employé, le multiplicande est le nombre qui est multiplié par un autre. Il s'oppose au multiplicateur qui sert à effectuer la multiplication. Ainsi, lorsqu'on effectue le produit a.b, on multiplie a par b : a est le multiplicande, puisqu'il va être multiplié, et b est le multiplicateur, car il apparaît après le symbole de multiplication. Le vocabulaire n'est dans ce cas pas commutatif. Pour que a devienne multiplicateur, il faudra effectuer le produit b.a. Dire que la multiplication est commutative revient à regarder le résultat de l'opération qui ne dépend pas de l'ordre des facteurs a et b, ainsi a.b = b.a.

L'expression mathématique a.b peut donc prêter à confusion. Elle aura un sens différent selon le contexte sans que rien ne soit indiqué dans l'expression. Elle peut vouloir dire soit d'effectuer l'opération de multiplication entre a et b dans l'ordre indiqué par l'expression, soit de regarder le résultat de l'opération (comme dans l'égalité). Le mot produit désigne le résultat de l'opération. Cependant, on utilise parfois par abus de langage l'expression "effectuer le produit" pour effectuer la multiplication.

Les termes en -ende/-ande et en -eur/-ateur qui sont ainsi vus par opposition, peuvent aussi se définir comme étant dérivés d'un verbe. Si la commande est ce qui est commandé, le multiplicande est le nombre qui est multiplié et le dividende, celui qui est divisé. Pour une intégrale, l'intégrande est la fonction qui est intégrée.

Multiplicande et dividende subissent donc l'opération. Pourtant, dans certains discours politiques, les travailleurs subissent le travail alors que de manière objective ils y sont simplement associés. Suggéreraient-ils alors le terme travaillande ?  qui serait sûrement ressenti à juste titre comme extrêmement méprisant.

Un polygone est un ensemble de segments inclus dans le plan tel que chaque extrémité de chaque sommet correspond à une extrémité d'un seul autre segment qui est non aligné avec le premier. Un polygone est dit régulier si tous ses côtes sont de même longueur et tous ses angles sont égaux.

Un polyèdre est dit régulier si toute ses faces sont identiques et sont des polygones réguliers, et en chaque sommet s'intersectent le même nombre de faces. Un polyèdre régulier est donc entièrement déterminé par son type de face et le nombre d'arêtes concourant en chaque sommet. La notation de Schläfli tient compte de ces propriétés pour représenter les polyèdres réguliers. Le symbole de Schläfli d'un polyèdre convexe régulier est {p,q} si ses faces sont des polygones avec p arêtes et si en chaque sommet se rencontrent q faces. Le symbole de Schläfli d'un cube est donc {4,3}, puisque chaque face est un carré et 3 faces (et 3 sommets) sont issues de chaque sommet du cube.

En dimension 3, il y a 5 polyèdres réguliers convexes :

• le tétraèdre ({3,3}),
• le cube ({4,3}),
• le octaèdre ({3,4}),
• le dodécaèdre ({5,3}),
• le icosaèdre ({3,5}).

Ils sont appelés solides de Platon, qui dans le dialogue Timée (vers 358 avant J.-C.), associe à chacun des quatre éléments (la terre, l'air, l'eau et le feu) un solide régulier. La terre était associée avec le cube, l'air avec l'octaèdre, l'eau avec l'icosaèdre et le feu avec le tétraèdre. Le dodécaèdre est en correspondance avec le Tout, parce que c'est le solide qui ressemble le plus à la sphère. Euclide démontra dans le livre XIII des éléments, le dernier, que ces polyèdres sont exactement au nombre de 5.

En 1596, Johannes Kepler (1571-1630) publie Mysterium Cosmographicum où il propose un modèle de l’univers s’appuyant sur les solides de Platon. A cette époque, six planètes sont connues. Kepler remarque que les sphères représentant les orbites des planètes peuvent contenir les solides de Platon. À Mercure, il associe l'octaèdre, à Venus l'icosaèdre, à Mars le dodécaèdre, à Jupiter le tétraèdre et à Saturne le cube. La terre sert de séparation entre deux groupes de solides.

Pour un polygone convexe régulier à p côtés, la notation de Schläfli est  {p}. Pour représenter des polyèdres étoilés, les fractions sont utilisées. Ainsi, le pentagone étoilé ou pentagramme est représenté par {5/2}, ce qui signifie que ce polyèdre possède 5 arêtes et que chacune de ces arêtes relie les sommets de numéro s et s + 2. Ainsi, la première arête relie le premier et le troisième sommet, la deuxième le troisième et le cinquième, ...

La notation de Schläfli permet aussi de décrire les pavages du plan. Il y a dans le plan 3 pavages réguliers qui ont été décrits précisément par Kepler. Les symboles de Schläfli associés à ces pavages sont : {4,4} pour le pavage carré, {6,3} pour le pavage hexagonale et {3,6} pour le pavage triangulaire.

L'Académie suédoise a décerné le prix Nobel de littérature à Jean-Marie Gustave Le Clézio qui est, pour elle, un écrivain de la rupture, de l’aventure poétique et de l’extase sensuelle, l’explorateur d’une humanité au-delà et en-dessous de la civilisation régnante.

J.-M. G. Le Clézio est un écrivain continuellement en voyage, en exil. Né à Nice, il passe une partie de son enfance au Nigeria pour retrouver son père, un médecin anglais ; retrouvailles racontées dans L'africain. En Angleterre, il  écrit le Procès-verbal. Il passe son service militaire en Thaïlande, le finit au Mexique. Puis, il vit avec les indiens au début des années 70 au Panama. Il parcourt régulièrement l'île Maurice.

Le Clézio cherche d'abord à et comprendre et à vivre dans une autre culture que la sienne. Il ne se définit pas comme un écrivain voyageur :

Écrire, c’est sortir de soi, c’est devenir quelqu’un d’autre, c’est un peu comme rêver, donc voyager. Mais pas voyager pour écrire, je ne suis pas un écrivain voyageur… 
Je vais à un endroit pour ne plus être moi-même, pour me sentir libéré des rumeurs que je connais trop, des obligations qui pourraient me déranger, me sentant libre comme un oiseau… Écrire comme on volerait.

Les philosophes ont souvent l'image d'affirmer leurs idées avec autorité, l'avantage du verbe aidant. Karl Jaspers se place à l'opposé de cette impression. Son ton est au contraire d'une grande modestie. Nous ne pouvons nous concevoir que dans nos limites : celles de la vie, de la pensée, ... Toute vie est confrontée à l'expérience de situations limites (mort, souffrance, culpabilité, ...) qui la place face à ses propres échecs. La philosophie, la science, ou même l'existence tentent d'aller au-delà de ses limites. L'attitude face à ces situations va déterminer fondamentalement  la philosophie (stoïcisme, épicurisme, scepticisme, hédonisme, ...). Refusant la phrase de Ludwig Wittgenstein, "ce dont on ne peut parler, il faut le taire", le philosophe tente d'aller aux limites de la compréhension.

A coté de l'existentialisme athée de Sartre se trouve la place pour un existentialisme chrétien. Pour Jaspers, l'homme a le don de transcendance : L'homme existant n'est pas seulement être-soi vital, pas seulement entendement abstrait, pas seulement esprit tendant à s'accomplir, il est tout cela à la fois et, en tout cela, lui-même. Ce sentiment de transcendance ne peut que lui imposer une profonde humilité.

Ses idées les plus importantes s'expriment surtout par la scission objet-sujet (Objekt-Subjekt Spaltung) qui mène à l'englobant (das Umgreifende). Toute pensée est intentionnelle, c'est-à-dire qu'elle est toujours la pensée de quelque chose. Elle se fixe sur un objet différent d'elle-même. Même lorsque le sujet pense à lui-même, il devient autre chose pour lui. Comme l'explique Sartre dans l'Être et le Néant, nous sommes toujours à distance de nous-mêmes.

Ricoeur et Dufrenne décrivent dans Karl Jaspers et la philosophie de l'existence, cette philosophie, toujours sur le point de se confondre avec une philosophie du désespoir et de l'absurdité, qui se reconquiert toujours comme philosophie de la substance et de la paix.

Le mot polytope désigne usuellement l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points. Cependant, Coxeter définit en 1973 un polytope comme désignant une région finie délimitée par un nombre fini d'hyperplans.

Le mot polytope a d'abord été utilisé par Alicia Boole Stott (1860-1940), troisième fille du mathématicien George Boole (inventeur de l'algèbre de Boole). Elle l'utilisa pour désigner un solide convexe de dimension 4. Ludwig Schläfli (1814-1895) démontra le premier en 1852 qu'il y avait exactement 6 polytopes réguliers en dimension 4 dont les cellules (ou ses faces de dimension 3) étaient pour chacun :

• 5 tétraèdres (l'hypertétraèdre ou pentachore),
• 16 tétraèdres (l'hyperoctaèdre, l'orthoplexe ou l'hexadécachore) ,
• 600 tétraèdres (l'hyperisocaèdre, le polytétraèdre, le tétraplexe ou l'hexacosichore),
• 8 cubes (l'hypercube, le tesseract ou l'octachore),
• 24 octaèdres (l'icositétrachore, le polyoctaèdre, l'octaplexe ou l'hypergranatoèdre),
• 120 dodécaèdres (l'hyperdodécaèdre, le polydodécaèdre, le dodécaplexe ou l'hécatonicosachore).

Claude Lévi-Strauss vient d'avoir 100 ans le 28 novembre dernier. En ouvrant la première page de Tristes tropiques, on se demande comment quelqu'un qui a tant voyagé peut haïr les voyages et les explorateurs. C'est que le véritable voyage n'a rien à voir avec le tourisme. Les kilomètres parcourus justifient-t-ils des récits de voyages ? L'explorateur peut-il proférer des banalités simplement parce qu'il est allé loin ?

Il nous interpelle fortement avec ce constat terrible qui résonne comme une sentence de notre civilisation :

Voyages, coffrets magiques aux promesses rêveuses, vous ne nous livrerez plus vos trésors intacts. Une civilisation proliférante et surexcitée trouble à jamais le silence des mers. Les parfums des tropiques et la fraîcheur des êtres sont viciés par une fermentation aux relents suspects, qui mortifie nos désirs et nous voue à cueillir des souvenirs à demi corrompus. (...) comment la prétendue évasion du voyage pourrait-elle réussir autre chose que nous confronter aux formes les plus malheureuses de notre existence historique ? Cette grande civilisation occidentale, créatrice des merveilles dont nous jouissons, elle n'a certes pas réussi à les produire sans contrepartie. Comme son oeuvre fameuse, pile où s'élaborent des architectures d'une complexité inconnue, l'ordre et l'harmonie de l'Occident exigent l'élimination d'une masse prodigieuse de sous-produits maléfiques dont la terre est aujourd'hui infectée. Ce que d'abord vous nous montrez, voyages, c'est notre ordure lancée au visage de l'humanité.

En admirateur de Rousseau, il nous interroge sur la place de l'homme dans la nature, le sens de la civilisation et du progrès. Avec une pensée toujours extrêmement nuancée, il nous parle à la fois de la civilisation, de son métier d'ethnologue, en revenant aussi sur lui-même : si je critique l'autre, c'est aussi moi-même que je critique à travers lui.

Il nous montre comment les occidentaux regardent régulièrement les autres cultures à travers le prisme de leurs valeurs, en oubliant trop souvent de les replacer dans une culture différente. Pourtant, nos valeurs sont surtout celles des droits de l'homme, des lumières. Or, ces modèles qui perdurent nous viennent du 18 ème siècle. Cependant, la critique des Lumières existe en philosophie (Joseph de Maistre, Emmanuel Kant, Auguste Comte). Sommes-nous capables de faire l'aggiornamento de nos valeurs et de les adapter à notre époque ?