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jeudi 11 mars 2010

Je ne peux pas écrire "Je ne peux pas écrire"

Par Jerome le jeudi 11 mars 2010, 15:20

Cette phrase autoréférente est contradictoire. Willard Quine propose une phrase de ce genre : "Yields falsehood when preceded by its quotation" yields falsehood when preceded by its quotation ("Est fausse lorsque précédée par sa propre citation" est fausse lorsque précédée par sa propre citation). Dans Diagonalization and Self-Reference, Raymond Smullyan appelle l'expression x "x" la norme de x. La phrase du titre correspond donc à la norme de "Je ne peux pas écrire".

Regardons l'énoncé :

Je ne peux pas écrire la norme de "Je ne peux pas écrire la norme de".   (1)

Cette phrase possède une propriété importante : son interprétation est identique à son écriture. La phrase du titre affirme que je ne peux pas écrire une partie d'elle-même, tandis que la phrase (1) affirme que je ne peux pas écrire la phrase (1) elle-même. De manière similaire, il existe en informatique des programmes dont la sortie est identique à leur code source : ces programmes sont appelés des quines en hommage au philosophe.

Ce genre de phrase utilise le même procédé que celui utilisé par Gödel pour démontrer le premier théorème d'incomplétude : la diagonalisation. La diagonalisation d'une application f en x consiste à appliquer f à la représentation de f(x). Notons #x la représentation de x : dans le cas de la démonstration de Gödel, #x correspond au nombre de Gödel associé à x ; dans le cas d'un programme informatique, c'est le code source de x ; dans le cas des phrases précédentes, c'est "x". La diagonalisation de f en x est donc : D(f(x)) = f(#f(x)).

Si l'on considère la phrase suivante :

Vous ne lisez pas la diagonalisation de x.   (2)

Sa diagonalisation est la phrase :

Vous ne lisez pas la diagonalisation de "Vous lisez pas la diagonalisation de".   (3)

La diagonalisation de la phrase (2) est la phrase (3). La phrase (3) affirme que vous ne lisez pas la phrase (3) elle-même. Ne la lisez donc pas!

Dans la démonstration du théorème de Gödel, l'application considérée est : où x est fixé et qui signifie que la formule y n'est pas une démonstration de la formule x.

La diagonalisation de en y donne :
.

Cette dernière assertion affirme d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable.

La diagonalisation permet de construire des énoncés indécidables. Dans le cas d'un système formel où tout est démontré, seules des assertions vraies peuvent être déduites. Aboutir à ce genre d'énoncés conduit à des paradoxes.

Pour se rapprocher du cadre des systèmes formels, il suffit de supposer que je n'écris que des choses justes. Dans ce cas, écrire Je ne peux pas écrire la norme de "Je ne peux pas écrire la norme de" serait impossible. Dans le cas contraire, si je ne l'écris pas, il y aurait des choses justes que je suis incapable d'écrire. L'analogie avec les systèmes formels voudrait dire qu'il existe des propositions vraies qui sont indémontables. Par conséquent, écrire cet énoncé signifie qu'on ne peut pas l'écrire et inversement ne pas l'écrire entraîne qu'on devrait pouvoir le faire.

Que conclure alors de tels énoncés? Si on accepte le principe du tiers exclu toute proposition est soit vraie, soit fausse. En aucun cas, il ne pourrait y avoir de troisième possibilité (ça n'est jamais à moitié juste). Nous sommes alors incapables de décider de la véracité de ses phrases autoréférentes : elles sont indécidables.

Les intuitionnistes avec Luitzen Brouwer remettent en cause le principe du tiers exclu pour ne pas accepter le raisonnement par l'absurde. Dans ce genre de raisonnement, pour démontrer qu'un énoncé est vrai, on démontre que sa contraposé ne peut pas l'être. Ce qui revient à supprimer une double négation. En logique classique, on a l'égalité : non-P est faux est identique à P est vrai. Les intuitionnistes quant à eux refusent d'éliminer cette double négation. Dans cette nouvelle logique, l'implication est acceptée, mais pas la réciproque. Pour un intuitionniste, un énoncé est vrai lorsqu'on peut le démontrer. Avec cette interprétation, l'implication précédente signifie que si P est démontrable alors il est impossible de démontrer qu'il n'y a pas de démonstration de P. Mais affirmer il n'y pas de démonstration que P est faux n'est pas suffisant pour conclure que P est vrai.

Pour David Hilbert, priver le mathématicien du principe du tiers exclu reviendrait à enlever son télescope à l'astronome, son poing au boxeur. Seulement si les intuitionnistes ne l'utilisent pas, c'est pour n'accepter que les démonstrations constructives. Ils éliminent ces démonstrations qui affirment qu'un objet existe sans jamais nous le montrer.

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mercredi 24 février 2010

Théorèmes de Gödel

Par Jerome le mercredi 24 février 2010, 11:13 - Mathématiques

En 1787, dans Critique de la raison pure, Immanuel Kant affirmait que la logique formelle n'a pas pu faire un seul pas en avant, et qu'ainsi, selon toute apparence, elle semble close et achevée. Malgré tout, Gottlob Frege fait faire des progrès à la logique en introduisant le calcul des prédicats et avec Grundgesetze der Arithmetik (fondements de l'arithmétique), il tente de dériver l'arithmétique de la logique. Mais en 1902, Bertrand Russell montre que le système formel de Frege était incohérent. On pensait alors qu'un système formel pourrait être complété en ajoutant un nombre fini d'axiomes pour le rendre complet. En 1931, Kurt Gödel met fin à cet espoir en effectuant la démonstration des deux théorèmes d'incomplétude. Comme le fait remarquer Douglas Hofstadter dans Gödel Escher Bach : Les Brins d'une guirlande éternelle, la version originale était en allemand, et vous trouverez peut-être que vous auriez tout aussi bien compris en allemand. L'article de Gödel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés, traduit en anglais par On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems) commence par :

Le développement des mathématiques vers plus d'exactitude a conduit, comme nous le savons, à en formaliser de larges secteurs, de telle sorte que la démonstration puisse s'y effectuer uniquement au moyen de quelques règles mécaniques. Les systèmes formels les plus complets établis jusqu'à ce jour sont, d'un côté, le système des Principia Mathematica; et, de l'autre, le système axiomatique de la théorie des ensembles établi par Zermelo-Fraenkel (et développé par J. von Neumann). Ces deux systèmes sont tellement larges que toutes les méthodes de démonstration utilisées aujourd'hui en mathématiques y sont formalisées, c'est-à-dire ramenées à quelques axiomes et règles d'inférence. On pourrait par conséquent supposer que ces axiomes et règles d'inférence suffisent pour décider de toute question mathématique qui pourrait s'exprimer formellement dans ces systèmes. Dans ce qui suit, nous montrerons que tel n'est pas le cas et qu'il existe au contraire dans ces deux systèmes des problèmes relativement simples concernant la théorie des entiers que l'on ne saurait trancher sur la base de ces axiomes. Cette situation n'est pas due, comme on pourrait le croire, à la nature spécifique des systèmes établis mais touche une très large classe de systèmes formels, à laquelle appartiennent en particulier tous les systèmes qui résultent des deux systèmes cités plus haut par addition d'un nombre fini d'axiomes, pourvu que, par ces axiomes, aucune proposition fausse ne devienne démontrable.

Les théorèmes d'incomplétude s'énoncent de la façon suivante :
  • Dans tout système formel consistant contenant une théorie des nombres finitaires relativement développée, il existe des propositions indécidables.
  • La consistance d'un tel système ne saurait être démontrée à l'intérieur de ce système.
Avec ces deux théorèmes, Gödel répond au deuxième problème de Hilbert : Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique ?  En d'autres termes, peut-on démontrer que les axiomes de l'arithmétique ne sont pas contradictoires ?

Pour démontrer le théorème d'incomplétude, Gödel reprend le paradoxe du menteur qui énonce cette phrase est fausse. Si cette phrase est fausse, elle est vraie. Inversement, si elle fausse, elle est vraie. Gödel réussi à formaliser ce type de paradoxe pour l'arithmétique en remplaçant la notion de vérité par celle de démonstration.

Gödel va utiliser une numérotation qui consiste à attribuer un nombre unique à chaque symbole du langage formel considéré. Par exemple, 1 est associé à la négation, 2 au ou logique, 3 à l'implication,... La numérotation de Gödel permet alors de définir une injection du système formel dans l'ensemble des entiers naturels .

Par exemple, l'assertion , qui signifie il existe x tel que x soit le successeur de y, sera transformée en la suite de nombres : 8 4 11 9   8 11 5 7 13 9. Cette suite de nombres est transformée en un entier grâce à la règle suivante : à partir de la suite de 10 nombres ci-dessus, on forme un nombre unique produit des 10 premiers nombres premiers où chacun est élevé à la puissance égale au nombre de Gödel de même rang de la suite :

.

De même, il est aussi possible d'associer un nombre de Gödel à une suite d'assertions. Considérons une suite formée de deux assertions. À chacune de ces deux assertions correspond un nombre. La suite d'assertions est alors associée au produit des deux premiers nombres premiers qui sont chacun élevés à la puissance égale au nombre de Gödel de l'assertion correspondante. Ainsi si m est le nombre de Gödel de la première asertion et n celui  de la deuxième, le nombre associé à cette suite d'assertions sera : .

À toute expression du système formel, que ce soit un signe, une suite de signes ou une suite de formules, il est donc possible d'associer un nombre unique. Inversement, par l'unicité de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers, à un nombre de Gödel correspond une expression du système formel.

Gödel définit ensuite la relation entre les nombres x et z, notée Dem(x,z), qui veut dire que la suite de formules associée au nombre de Gödel x est une démonstration de la formule de nombre de Gödel z.

On considère alors la formule G : . Cette formule veut dire qu'il n'existe pas de démonstration ayant pour nombre de Gödel x de la formule de nombre de Gödel z, c'est-à-dire que l'assertion qui porte le nombre de Gödel z n'est pas démontrable.

Gödel considère un cas particulier de cette assertion. Pour cela, on note sub(m,p,q) le nombre de Gödel de la formule obtenue en substituant à la variable de nombre de Gödel p dans la formule de nombre de Gödel m le nombre q. Ainsi, sub(n,13,n) est le nombre de Gödel obtenu à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n et dans laquelle on substitue à la variable de nombre 13 la variable n. Par exemple, si l'assertion possède le nombre de Gödel n, la variable qui possède le nombre 13, qui est y, est remplacée par le nombre n. L'assertion devient alors : .

Le cas particulier de G considéré par Gödel est :
.
Cette assertion signifie : pour tout nombre de Gödel x, la suite de formules associée au nombre de Gödel x ne démontre pas la formule obtenue en substituant le nombre n à la variable de nombre 13 dans la formule de nombre de  Gödel n. Ce qui veut dire aussi que l'assertion qui possède le nombre de Gödel sub(n,13,n) n'est pas démontrable.

Cette assertion particulière porte elle-même un nombre de Gödel. Le nombre de Gödel de G est sub(n,13,n). En effet, sub(n,13,n) est le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n en substituant le chiffre n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c'est-à-dire la variable y). Or, la formule a été obtenue à partir de la formule qui porte le nombre n en substituant à la variable y le chiffre n. Donc le nombre de Gödel de l'asserttion G est bien sub(n,13,n).

Or, l'assertion G affirme que l'assertion qui possède le nombre de Gödel sub(n,13,n) n'est pas démontrable. Donc, l'assertion G dit d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable.

Gödel démontre ensuite que si G est démontrable alors ~ G est aussi démontrable. Si G est démontrable, il existe un nombre de Gödel k tel que . On peut prouver que si la relation Dem(x,z) existe entre deux nombres alors cette relation est démontrable. Donc est démontrable et est démontrable. Cette dernière formule correspond à ~ G. Réciproquement, Gödel montre que si ~ G est démontrable, G l'est aussi. Le système formel est dons inconsistant.

De plus, l'assertion G est vraie. En effet, on a montré que l'assertion G n'est pas démontrable. Or, c'est justement ce qu'énonce G.

On vient de montrer que la consistance d'un système implique qu'il est incomplet, c'est-à-dire qu'il existe une formule vraie qui est indémontrable et dont la négation n'est pas non plus démontrable. La validité de cette formule ne pourra pas être déterminée dans le cadre du système formel.

Le second théorème de Gödel énonce que la consistance (ou la non-contradiction) du système formel, c'est-à-dire qu'aucune contradiction ne peut être prouvée à partir de ses axiomes, ne peut être démontrée à l'intérieur de ce système.

Avec le premier théorème d'incomplétude, on montre qu'à partir d'un système formel cohérent on aboutit à G. La consistance entraîne donc la formule G. Si on pouvait démontrer dans le système formel, la consistance, alors il s'en suivrait que G serait démontrable dans ce système formel. Or, la démonstration précédente montre que ce n'est pas le cas. Par conséquent, c'est qu'il est impossible de démontrer dans le système formel la consistance.

Mark Dominus donne une brève explication du théorème de Gödel en reprenant une idée de Raymond Smullyan. Pour plus de compléments sur le théorème de Gödel, on pourra lire les livres Le théorème de Gödel de Ernest Nagel, James R. Newman et Jean-Yves Girard qui réussit à vulgariser la démonstration du théorème de Gödel, ainsi que Gödel Escher Bach : Les Brins d'une guirlande éternelle de Douglas Hofstadter qui établit des parallèles entre les œuvres de Gödel, de l'artiste Maurits Cornelis Escher et du compositeur Johann Sebastian Bach. Les résumés de cours de Jacques Bouveresse au Collège de France de 2003 à 2006 sur Gödel sont disponibles : Kurt Gödel, mathématiques, logique et philosophie.

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vendredi 19 février 2010

Calculabilité et décidabilité

Par Jerome le vendredi 19 février 2010, 10:20

Les notions de calculabilité et de décidabilité sont liées. En 1900, David Hilbert adresse au congrès international de mathématiques à Paris une liste de 23 problèmes irrésolus qui, espérait-il, devaient marquer le XXe siècle.

Lors du congrès, il commence son discours par :

Qui parmi nous ne serait pas heureux de soulever le voile qui masque le futur, d'observer les futurs développements de notre science ainsi que ses secrets pendant les siècles à venir ? Quels seront les fins vers lesquelles tenderont l'esprit des futures générations de mathématiciens ? Quelles méthodes, quels faits nouveaux, le siècle nouveau révèlera dans le riche et vaste champ de la pensée mathématique ?

Le dixième problème de Hilbert demande s'il est possible de trouver un algorithme permettant de décider si une équation diophantienne possède des solutions. Ce problème sera résolu bien plus tard par une réponse négative. 

Pour y répondre, il est essentiel de définir clairement la notion de calculabilité. Afin de montrer qu'il n'y a pas de méthode de calcul pour résoudre les  équations diophantiennes, il est nécessaire d'avoir une caractérisation de ce qu'est une procédure de calcul. Montrer que quelque chose est calculable est plus facile : une fonction calculable sera une fonction qui peut-être définie par un algorithme, c'est-à-dire par un ensemble fini d'instructions qui décrivent explicitement le déroulement de toutes les opérations. Ces opérations doivent de plus se terminer en temps fini. Le premier chapitre du premier tome de The Art of Computer Programming de Donald Knuth décrit la notion d'algorithme. Il suffit alors de décrire un algorithme, et supposer qu'il sera bien reconnu comme tel. Cependant montrer que quelque chose n'est pas calculable demande beaucoup plus de concepts. 

Si la notion de calculs apparaît tôt pour les mathématiques, sa formalisation n'a commencé qu'à partir de 1930. Alan Turing a fourni une première notion de la calculabilité, Kurt Gödel et Jacques Herbrand ont caractérisé la calculabilité en termes de fonctions récursives, Alonzo Church a introduit la notion de lambda-calcul, puis Emil Post a donné une autre notion de la calculabilité. La "thèse de Church" énonce que la définition intuitive d'un calcul et sa définition mathématique rigoureuse coïncident. Par conséquent, toutes les définitions mathématiques (fonctions récursives, machine de Turing, lambda-calcul,...) sont équivalentes.

La théorie de calcul est ainsi antérieure d'environ une décennie à l'invention de l'informatique moderne. En 1879, dans Begriffsschrift (traduit en français par idéographie, c'est-à-dire l'écriture ou la notation des concepts), Gottlob Frege a présenté un système formel de la logique qui serait une langue de la pensée pure calquée sur celle de l'arithmétique, . Il y définit les quantificateurs et les relations d'une manière assez proche de leur définition actuelle. L'objectif de Frege était de réduire les mathématiques à la logique, ce qu'on appelle le logicisme. Sa motivation pour développer son approche formelle de la logique ressemblait à la tentative de Leibniz avec ce que celui-ci appelait calculus ratiocinator correspondant à un calcul logique universel. Selon Leibniz, en 1684, dans son article fondateur du nouveau calcul différentiel Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus (Nouvelle méthode pour chercher les maxima et les minima, ainsi que les tangentes) publié dans le périodique Les Acta Eruditorum de Leipzig :

Alors, il ne sera plus besoin entre deux philosophes de discussions plus longues qu'entre deux mathématiciens, puisqu'il suffira qu'ils saisissent leur plume, qu'ils s'asseyent à leur table de calcul (en faisant appel, s'ils le souhaitent, à un ami) et qu'ils se disent l'un à l'autre : "Calculons !" .

Dans la recherche de la langue parfaite, Umberto Eco retrace l'histoire de cette utopie. Après le Déluge, selon la Bible, toute la terre avait une seule langue et des mots identiques, mais l'orgueil conduisit les hommes à vouloir construire une Tour qui montât jusqu'au Ciel. Pour les punir et de sorte qu'ils ne se comprennent plus, Dieu introduisit la diversité des langues et dispersa les hommes sur toute la surface de la terre. Avec la recherche de la langue unique pour Dalgarno, Wilkins ou Leibniz, il ne s'agit nullement de retrouver une langue perdue mais d'inventer une nouvelle langue universelle, facile à apprendre et à utiliser. Calculer et raisonner devenant une seule et même chose, les ambiguïtés et les obscurités des langues naturelles se trouveraient du même coup éliminées et la voie serait ainsi ouverte tant au progrès des sciences qu'à la concorde entre les hommes.

Vers la fin du XIXe siècle, des mathématiciens comme Georg Cantor et Richard Dedekind utilisèrent de nouvelles méthodes abstraites pour raisonner sur les objets mathématiques qui furent à l'époque très controversées. Ils ont conduit à une multiplication des travaux sur les fondations, visant à trouver à la fois des descriptions précises, des nouvelles méthodes et des justifications rigoureuses. En 1902, Bertrand Russell a montré que le système formel de Frege était incohérent, c'est à dire qu'il conduit à des contradictions. Ces problèmes ont abouti à ce qu'on appelle aujourd'hui la «crise des fondements».

Hilbert, tout en étant un défenseur des méthodes de Dedekind et de Cantor, était aussi sensible aux préoccupations plus fondamentales. Au début des années 1920, il a développé un programme détaillé pour résoudre la crise :

Si l’on ne veut plus souffrir des ravages de la crise économique actuelle, nous devrons changer les règles du capitalisme mondial. Si nous voulons écarter la menace du réchauffement climatique qui pèse sur notre avenir et celui de nos enfants, nous devrons changer radicalement nos habitudes. Si nous voulons que les exploités d’aujourd’hui se libèrent demain de leurs chaînes, nous devrons construire un monde juste.

Pardon, il y a erreur sur la personne. Hibert déclare en 1930 : Wir müssen wissen. Wir werden wissen (Nous devons savoir. Nous saurons). L'idée était de représenter le raisonnement mathématique abstrait en utilisant des systèmes formels de déduction, et ensuite de prouver que ces systèmes formels sont cohérents.

La cohérence n'est cependant pas le seul point important pour Hilbert. Ses écrits datant du début du siècle, donnent à penser qu'un système d'axiomes, comme par exemple celui des nombres naturels, est inadéquate tant qu'il ne permet pas de déduire tout un ensemble de déclarations vraies. Combinée avec l'intérêt pour les systèmes formels de déduction, cette suggestion voulait tenter de garantir que le système formel des nombres naturels est non seulement cohérent, mais aussi complet, c'est à dire tout énoncé est soit démontrable ou réfutable.

C'est exactement ces deux objectifs que Gödel a détruit en 1931. Il a prouvé d'abord en 1930 la complétude de la logique classique du premier ordre, c'est-à-dire que toute formule valide exprimée dans cette logique est démontrable. En 1931 avec le théorème d'incomplétude, il montre qu'il n'y a pas de système formel axiomatisé qui soit à la fois complet et cohérent. Puis, il montre qu'il n'existe aucun système formel qui soit capable de prouver sa propre cohérence. Par conséquent, la cohérence des «mathématiques abstraites» ne peut même pas être prouvée en utilisant toutes les mathématiques abstraites.

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mercredi 17 février 2010

Nombres réels et suites de Cauchy

Par Jerome le mercredi 17 février 2010, 09:01 - Mathématiques

Une fois les nombres rationnels construits, il manque les nombres irrationnels pour obtenir l'ensemble des réels. Le premier à utiliser le terme d'irrationnel est l'évêque de Lisieux Nicolas Oresme dans son Traité sur la sphère tout en s'excusant de transcrire du latin certains mots abstraits qu'il introduit dans la langue française. Cantor nomme les nombres réels en 1883 dans les fondements d'une théorie générale des ensembles afin de les distinguer des nombres imaginaires.

Il existe plusieurs constructions des nombres réels. L'une d'elles est due à Richard Dedekind. La méthode qu'il propose est géométrique : elle exprime que l'ensemble des réels est continu. Une deuxième est due à Charles Méray et Georg Cantor. Dans ce cas, les nombres réels sont vus comme limites de suites de rationnels.

Il fut longtemps difficile de savoir si les irrationnels étaient à considérer comme de véritables nombres. Michael Stifel dans Arithmetica Integra (1544) considère les irrationnels comme des nombres valides :

Il est à juste titre discuté si les nombres irrationnels sont de véritables nombres ou non. En étudiant les figures géométrques, où les nombres rationnels sont utilisés, les irrationnels trouvent leur place, et montrent de manière précise ce que les nombres rationnels sont incapables de montrer... Nous sommes contraint d'admettre qu'ils sont corrects.

Cependant, même s'ils sont corrects, il ne les considère pas comme de véritables nombres, car ils ne pas proportionnels aux nombres rationnels. Pour Simon Stevin, en 1585, une racine quelconque est nombre. Mais pour d'Alembert, en 1751, n'est point un nombre proprement dit, c'est une quantité qui n'existe point, qu'il est impossible de trouver.

Abraham Kästner en 1758 est le premier qui propose de définir les nombres réels de manière arithmétique en se rendant compte qu'un nombre irrationnel est proche d'un rationnel :

On peut considérer le nombre irrationnel comme étant composé de deux parties : l'une, le commencement, est rationnelle et peut être prolongée à volonté de telle sorte que l'autre partie, la fin, qui reste en toute rigueur toujours inconnue, devienne plus petite que toute grandeur donnée. (...) Si X est un nombre irrationnel, A son commencement rationnel, a sa fin inconnue, alors tout ce qui est vrai d'un nombre rationnel tel que A, doit être vrai de X, étant donné que cet A peut constituer une partie aussi considérable que X qu'on le désire, par rapport à laquelle a devient de plus en plus petit et peut donc, pour ainsi dire disparaître.

Pour Kästner, un nombre irrationnel X est la somme d'un nombre rationnel A et d'une partie irrationnel a rendue aussi petite que voulue : X = A + a.

Les nombres rationnels sont dits denses dans l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire que tout nombre réel peut être approché par un nombre rationnel de manière aussi précise qu'on le souhaite. Ainsi, le nombre peut être approché par un nombre rationnel de deux chiffres après la virgule : 3.14. Si cette approximation est insuffisante, on peut considérer 3.141 ou 3.1415 comme approximation rationnelle de .

De même, pour les fonctions, d'après le théorème de Stone-Weierstrass, les polynômes sont denses dans l'ensemble des fonctions continues, ce qui justifie l'utilisation des développements limités.

Kästner ne parle pas encore de limite qui sera définie plus tard par Augustin Cauchy dans son cours d'analyse à l'Ecole Polytechnique. Cauchy définit les infiniment petits qu'il considère comme des variables particulières. Ce sont des variables qui tendent vers 0, mais qui sont considérées comme des intermédiaires disparaissant dans le résultat final.

Méray en 1869 dans Remarques sur la nature des quantités définies par la condition de servir de limites à des variables données et Cantor en 1883 ou en 1872 formalisent les nombres réels en les considérant comme limite d'une suite de nombres rationnels. Par exemple, on peut définir le nombre réel comme la limite de la suite 1, 1.4, 1.41 , 1.414, ... où chaque nombre est rationnel. Cette suite se rapproche indéfiniment de sans jamais l'atteindre. Le nombre réel est ainsi obtenu par approximation successive. La suite construite est une suite de Cauchy, c'est-à-dire que les termes se rapprochent de plus en plus les uns des autres :
.
De telles suites convergent et leur limite est unique.

Pour construire , on considère les classes d'équivalence des suites de Cauchy où les suites de même limite sont équivalentes :
.
L'ensemble correspond alors à l'ensemble quotient des suites de Cauchy par cette relation d'équivalence. Un nombre réel est donc une classe d'équivalence de suite de Cauchy pour la relation .

L'addition et de la multiplication de nombre réels peuvent être définies à partir des suites. Ces opérations posaient problème en considérant le développement décimal d'un nombre réel. En effet, en posant une addition, on commence le calcul par la droite. Ce qui est impossible pour des nombres réels, puisque le développement décimal est infini.

L'addition et de la multiplication des nombres réels sont celles des suites :

.
Cela permet ainsi d'étendre aux nombres réels ces opérations qui sont bien définies pour les nombres rationnels.

Pour la construction des nombres, on pourra aller faire un tour sur le blog Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes qui est très complet.  D'après Wikipédia,

Une troisième construction s'appuie sur la méthode des segments emboîtés. Un emboîtement est une suite décroissante d'intervalles fermés de nombres rationnels dont la longueur tend vers 0. Un nombre réel est alors défini comme une classe d'emboîtements modulo une relation d'équivalence. Selon Mainzer, « la vérification des propriétés de corps ordonnée est relativement pénible », ce qui explique pourquoi cette approche apparaît moins avantageuse que les deux précédentes. Il existe aussi une autre méthode à partir des développements décimaux, cependant l'addition puis la multiplication ne sont pas des opérations simples à définir.

Xavier Caruso donne une autre construction peu connue des nombres réels à l'aide du groupe additif des entiers relatifs .
Enfin, on pourra aussi signaler que pour Jacques Lacan, le non-concept « réel » est tout simplement substantivé au titre d'une hypostase. Un antidote à ce dernier sera Impostures intellectuelles d'Alan Sokal et Jean Bricmont ou Prodiges et vertiges de l'analogie de Jacques Bouveresse.

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lundi 15 février 2010

Nombres rationnels

Par Jerome le lundi 15 février 2010, 09:55 - Mathématiques

Les nombres rationnels portent-ils ce nom parce qu'ils seraient plus raisonnables ou plus conformes à la raison que les autres nombres?

On raconte que le pythagoricien qui aurait découvert que la diagonale du carré de côté 1 valait , considéré comme incommensurable, a été jeté par-dessus bord au cours d'une pêche tragique ou encore qu'Hippase de Métaponte a été excommunié, coupable d'avoir découvert ces nombres irrationnels. Léon Brunschvicg, dans Le rôle du pythagorisme dans l'évolution des idées, évoque que cette harmonie entre l'intelligible et le réel sur laquelle reposait leur conception du monde et de la vie, voici qu'elle se rompt avec une évidence contraignante, avec un éclat douloureux et cruel de l'application scrupuleuse des méthodes qui avaient fait l'honneur de l'École.

Pourtant si ces nombres sont rationnels, c'est qu'il y deux sens du mot latin ratio : l'un qui renvoie bien à la raison et un autre qui signifie calcul, compte que l'on retrouve en français dans le mot ratio. C'est aussi par cette dernière étymologie que l'on parle de la raison d'une suite géométrique.

Muni des lois + et ., l'ensemble forme un anneau. Les entiers relatifs ne possèdent pas d'inverse pour la loi multiplicative. Pour former le corps des fractions , on considère l'ensemble des nombres rationnels :

.

Cet ensemble est noté comme quotient.

L'idée pour construire les nombres rationnels est proche de celle utilisée pour la construction des nombres relatifs. Il s'agit de poser une relation d'équivalence sur un espace produit : dans le cas des nombres relatifs, c'était sur l'ensemble des couples d'entiers naturels ; pour les nombres rationnels, ce sera l'ensemble des couples d'entiers relatifs où le second élément du couple est non nul.

Deux couples de seront équivalents si et seulement si leurs produits en croix sont égaux :

.

Sur , des couples étaient équivalents lorsque leurs sommes en croix étaient égales.

L'addition et la multiplication sont définies par :


et
.
Ce qui revient bien aux lois usuelles des fractions :

Les opérations sont alors bien définies si le résultat ne change pas lorsqu'un couple est remplacé par un autre qui lui est équivalent.

Georg Cantor a montré que l'ensemble des rationnels est dénombrable, c'est-à-dire que l'ensemble des nombres rationnels peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels. Puisqu'il est possible d'associer un à un les entiers naturels avec les nombres rationnels, on peut dire qu'il y a le même nombre de rationnels que d'entiers naturels. Cantor nota ce nombre avec la première lettre de l'alphabet hébreu aleph : . Pour plus de détails sur Cantor et l'infini, on pourra lire l'article de Patrick Dehornoy : Cantor et les infinis. Jean-Paul Delahaye donne aussi une introduction à l'infini et ses paradoxes dans l'infini est-il paradoxal?

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vendredi 12 février 2010

La guerre et la Paix

Par Jerome le vendredi 12 février 2010, 09:54 - Littérature

Un roman de plus de 2000 pages : 1023 pages pour le premier tome et 1055 pages pour le deuxième. Mais il serait réellement dommage d'être découragé simplement par l'épaisseur de ce livre. D'autant qu'il se lit facilement : une trame historique forte, une quinzaine de personnages principaux, même si plus de 500 personnages ont pu être comptés dans tout le roman.

Le travail de recherche historique nécessaire pour écrire ce livre s'est montré immense. Le roman s'accompagne en même temps d'une critique de l'histoire :

J'ai commencé à écrire un livre sur le passé. En décrivant ce passé, j'ai découvert non seulement qu'il était inconnu mais que lorsqu'il était connu on avait dépeint l'inverse de ce qui était arrivé. Et, malgré moi, j'ai éprouvé le besoin de démontrer ce que je disais, d'exprimer les idées sur lesquelles je m'étais fondé en écrivant.

La signification d'un événement est souvent donnée a posteriori en le jugeant remarquable s'il est suivi d'une victoire. Par exemple, il est expliqué habituellement que le replis des russes pendant la campagne de Napoléon a permis leur succès alors qu'il est d'abord pragmatique pour permettre le ravitaillement des troupes. Si une défaite avait suivi ce replis, l'historien se montrerait critique à propos de ces mêmes événements. L'importance des personnages historiques est exagérée et l'histoire les transforme en héros. Les historiens considèrent un événement particulier et le rendent prépondérant. D'après Tolstoï, un événement n'est pas dû forcément à la volonté d'un homme, mais à une suite de circonstances souvent inexplicables et causées par le hasard.

Aux environs de 1860, Tolstoï prévoit d'écrire un livre sur les Décembristes, ces jeunes nobles qui tentèrent un coup d'État le 14 décembre 1825 pendant l'interrègne entre Alexandre Ier et Nicolas Ier. Les recherches l'ammènent à un roman plus vaste. Il écrit dans une de ses préfaces que La Guerre et la Paix n'est pas un roman avec une intrigue, un intérêt qui se développe constamment et un dénouement heureux ou malheureux, qui épuise l'intérêt de la narration. La Guerre et la Paix paraît en feuilleton dans Le messager russe à partir de janvier 1865. Le roman commence en 1805, l'année de la bataille d'Austerlitz, pour s'achever en 1812 avec la campagne de Napoléon en Russie. 

Le deuxième tome explique comment Napoléon, ce génie militaire qui a conquis une grande partie de l'Europe, commet des erreurs en Russie après la prise de Moscou : il aurait dû rester quelques temps dans la ville pour consolider ses positions, commencer le ravitaillement des troupes et les préparer au froid. Au lieu de ça, il préfère continuer la conquête du pays. Les russes entament alors la tactique de la terre brûlée en mettant le feu à Moscou ou en attirant les français au cœur de la Russie dans des conditions difficiles pour les y faire périr de froid. Le général en chef Koutouzov comprend par sa longue expérience que les troupes françaises sont proches de la défaite et d'après lui, il faut faire un pont d'or à l'ennemi vers la retraite :

Comment ce vieillard a-t-il pu, en opposition avec tout le monde, deviner aussi sûrement le sens et la portée des événements, au point de vue russe? C'est que cette merveilleuse faculté d'intuition prenait sa source dans le sentiment patriotique, qui vibrait en lui dans toute sa pureté et dans toute sa force. Le peuple l'avait compris, et c'était ce qui l'avait amené à réclamer, contre la volonté du Tsar, le choix de ce vieillard disgracié comme le représentant de la guerre nationale. Porté par cette acclamation du pays à ce poste élevé, il y employa tous ses efforts, comme commandant en chef, non pour envoyer ses hommes à la mort, mais pour les ménager et les conserver à la patrie!

Cette figure simple et modeste, et par conséquent «grande» dans la véritable acception du mot, ne pouvait être coulée dans le moule mensonger du héros européen, du soi-disant dominateur des peuples, tel que l'histoire l'a inventé!... Il ne saurait y avoir de «grands hommes» pour les laquais, parce que les laquais entendent mesurer les autres à leur taille!

Romain Rolland écrit en 1911 dans la Vie de Tolstoï que "Guerre et Paix est la plus vaste épopée de notre temps, une Illiade moderne. Un monde de figures et de passions s'y agite. Sur cet océan humain aux flots innombrables plane une âme souveraine, qui soulève et réfrène les tempêtes avec sérénité. Plus d'une fois, en contemplant cette  œuvre, j'ai pensé à Homère et à Goethe."

À la fin des années 1870, Tolstoï écrit au poète russe Afanassi Fet qu'il n'écrirait jamais plus "des sornettes délayées" dans le genre de La Guerre et la Paix. Il ne reste plus qu'à espérer que plus de monde puisse dire de si belles sornettes.

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samedi 6 février 2010

Égalité, identité

Par Jerome le samedi 6 février 2010, 16:27

Si deux objets sont différents, ils se distinguent l'un de l'autre par une de leurs propriétés.
.
Par contraposé, deux objets admettant les mêmes propriétés sont identiques.
.

Les indiscernables sont identiques. Ce principe a été énoncé par Gottfried Leibniz dans son Discours de métaphysique. Par exemple, deux points qui ont les mêmes coordonnées sont confondus :
.
Inversement, les identiques sont indiscernables :
.
Deux points confondus ont les mêmes coordonnées : .
La contraposé de cette proposition entraîne que deux choses qui ne partagent pas les mêmes propriétés ne peuvent pas être identiques.
.
Ce principe est à restreindre aux propriétés intrinsèques, c'est-à-dire indépendantes de toutes conditions extérieures. Par exemple, la masse, la forme ou la dimension d'un objet sont des propriétés intrinsèques. Qu'une clef permette d'ouvrir une porte est une propriété extrinsèque. Selon David Lewis :

Une phrase ou un énoncé ou une proposition qui attribue des propriétés intrinsèques à quelque chose est entièrement au sujet de cette chose ; alors que l'attribution de propriétés extrinsèques à quelque chose n'est pas entièrement au sujet de cette chose, bien qu'elle puisse bien être au sujet d'un plus grand tout qui inclut cette chose comme partie. Une chose possède ses propriétés intrinsèques en vertu de la manière dont la chose, et rien d’autre, est.

Les deux principes réciproques forment ce qu'on appelle parfois la loi de Leibniz. Par ce principe, Leibniz veut dire qu'il n'y a jamais deux êtres qui soient parfaitement l'un comme l'autre. Dans les Nouveaux essais sur l'entendement humain, qui sont une réponse à l'Essai sur l'entendement humain de John Locke, Leibniz explique :

Si deux individus étaient parfaitement semblables et égaux et (en un mot) indistinguables par eux-mêmes, il n'y aurait point de principe d'individuation et même j'ose dire qu'il n'y aurait pas de distinction individuelle ou de différents individus à cette condition.

Ainsi, chaque être a un principe interne de distinction que Leibniz nomme principe d’individuation.

Leibniz énonça d'autres principes importants qui ont une interprétation tant physique que métaphysique :
  • le principe du mieux : repris par Pangloss dans Candide de Voltaire avec tout est au mieux dans le meilleur des mondes possibles ;
  • le prédicat enfermé dans le sujet (Praedicatum inest subjecto) qui affirme que tous les énoncés vrais sont analytiques ; Louis Couturat l'appelle principe de raison ; ce dernier signifie que toute proposition doit pouvoir se démontrer par l'analyse logique de ses termes ;
  • le principe de contradiction (ou de non-contradiction) : d'abord énoncé par Aristote dans Métaphysique : Il est impossible qu’un même attribut appartienne et n'appartienne pas en même temps et sous le même rapport à une même chose ;
  • le principe de raison suffisante : pour lequel rien n'arrive sans raison (nihil fit sine ratione) dans Essais de Théodicée : Jamais rien n'arrive sans qu'il y ait une cause ou du moins une raison déterminante, c'est-à-dire qui puisse servir à rendre raison a priori pourquoi cela est existant plutôt que non existant et pourquoi cela est ainsi plutôt que de toute autre façon ;
  • le principe de continuité : la nature ne fait pas de sauts dans la préface des Nouveaux essais sur l'entendement humain qui est repris par Carl von Linné dans Philosophia Botanica (1751) en latin : Natura non fecit saltus.
Pour plus de renseignements sur la philosophie de Leibniz, les cours de Jacques Bouveresse au Collège de France sont en ligne : Dans le labyrinthe : nécessité, contingence et liberté chez Leibniz.

Ainsi, l'égalité rend semblable. Pourtant, trop souvent ceux qui défendent l'égalité des droits pour les minorités revendiquent leurs différences quand l'égalité est un droit à l'indifférence.

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mercredi 30 décembre 2009

Tout est iluminé

Par Jerome le mercredi 30 décembre 2009, 16:27 - Littérature

Tout est illuminé est le premier livre de Jonathan Safran Foer. Pourquoi tout est-il illuminé? Rien à voir avec les illuminations de Noël. C'est que soudainement, tout s'éclaire après avoir compris quelque chose.

Alexandre Perchov va servir de guide à un écrivain juif américain, Jonathan Safran Foer, qui voyage en Ukraine pour retrouver le shtetl où vécu son arrière-arrière-arrière-arrière-arrière-grand-mère.

Il faut un peu de temps pour s'habituer au style des chapitres écrits par ce narrateur lituanien qui écrit dans un anglais qu'il ne parle pas bien, rendant le livre difficile à traduire en français. Alex est parfois morfondu. Il lui arrive aussi d'être proximal de quelqu'un ou parfois même d'être charnel avec certaines personnes. Son grand-mère manufacture souvent des RRR en l'attendant dans la voiture. Pour son travail, il se fera payer en numéraire.

Un fois habitué au style, on est charmé par la poésie et l'inventivité de la langue de l'auteur. Le livre alterne les chapitres racontés par Alex, ceux du roman que Jonathan a écrit après son voyage où il raconte l'histoire du shtetl de Trachimbrod de 1791 à 1942, et les lettres d'Alex qui donne son avis à Jonathan sur les pages de son roman. Différents styles se succèdent alors tour-à-tour : du malhabile, naïf et drôle d'Alex au plus imagé et maîtrisé de Jonathan.

Diplômé de philosophie à Princeton, Foer ne rêve pas de devenir écrivain, mais son professeur de lettres, Joyce Carol Oates, l'encourage à écrire. Tout est illuminé s'inspire de l'histoire de l'auteur lui-même parti en Ukraine sur les trace de son grand-père en 1989.

Reste maintenant à lire le deuxième roman de Jonathan Safran Foer Extrêmement fort et incroyablement près, en espèrant qu'il sera tout aussi original. Ce livre raconte l'histoire du jeune Oskar Schell parti en quête de la serrure qu'ouvrirait la clé qu'il a trouvée dans les affaires de son père, disparu dans le World Trade Center.

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lundi 7 septembre 2009

L'invention des logarithmes ou la révolution du calcul

Par Jerome le lundi 7 septembre 2009, 20:57 - Mathématiques

Aujourd'hui, il est difficile d'imaginer à quel point l'invention des logarithmes fut une révolution dans le domaine du calcul. Pourtant, le logarithme possède une propriété importante : il transforme un produit en une somme. Ainsi, log (xy) = log(x) + log(y). Plutôt que d'effectuer une multiplication, on pourra effectuer une addition en passant par la fonction logarithme.

La notion de logarithme est introduite par John Neper en 1614, à partir d’un exemple issu de la cinématique. Dans son article Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, il compare le mouvement rectiligne de deux points M et M' dont le premier M a une vitesse qui augmente proportionnellement avec la distance qui le sépare d'un point fixe O et dont le second  M' se déplace de manière uniforme vers un point O'. La distance O'M' parcourue par le point M' est alors, selon Neper, le logarithme de la distance OM. Le logarithme a ainsi la propriété de transformer un  mouvement augmentant proportionnellement en un mouvement régulier.



Neper est le premier à calculer une table de logarithme en base e dans l'article Mirifici Logarithmorum Canonis constructio écrit en 1614 et publié en 1619. Il choisit d’appeler les nombres de cette table logarithmes, car il les considère comme des relations entre des nombres. Il utilise alors les racines grecques logos et arithmos et crée le mot logarithmus, puisqu’il écrit en latin. 

Soixante-dix ans avant Neper, en 1544, le moine et mathématicien allemand Michael Stifel (1486–1567) avait déjà publié à Nuremberg un traité de mathématique Arithmetica Integra, où il mettait en relation la suite des entiers avec celle des puissances de 2. Dans cet ouvrage, il montrait comment il est possible de transformer une multiplication en addition. 
Puisque le logarithme transforme un produit en une somme, les calculs s'en trouvent grandement facilités. Ainsi, si l'on veut multiplier 8 par 32, on va chercher pour chacun leur logarithme (en base 2) dans la table, qui se trouve sur la première ligne et dans la même colonne. Ainsi, le logarithme de 8 est 3 et celui de 32 est 5. On calcule la somme des logarithmes, qui dans ce cas est 8. Le résultat de la multiplication de 8 par 32 est alors le nombre admettant 8 pour logarithme, c'est-à-dire le nombre se trouvant sur la deuxième ligne et dans la même colonne que le chiffre 8, soit le nombre 256.

La formule utilisée ici est  :  .

Après la publication des travaux de Neper, le mathématicien anglais Henry Briggs (1561–1630) comprend aussitôt l’intérêt de cette relation entre les nombres et voit ainsi le moyen de faciliter les calculs en transformant les multiplications en additions. Pour simplifier encore plus ces calculs, il suggère à Neper de choisir 10 pour base. En 1615, Briggs calcula la table de ces nouveaux logarithmes décimaux, qu'il publia après une rencontre avec l'inventeur des logarithmes.

Indépendamment de Neper, un suisse, Bürgi, qui avait été assistant de Kepler à Prague, calcula entre 1603 et 1611 une table d'antilogarithme (il appelle ainsi la fonction inverse du logarithme). Cette table fut imprimée dans cette ville en 1620. Facilitant grandement les calculs, notamment ceux des astronomes, les tables de logarithmes connurent alors un succès immédiat.

En l'honneur de Néper, on parle désormais de logarithme néperien (noté ln). La définition moderne le définit à partir de l'intégrale de la fonction 1/x :



Ainsi, le logarithme néperien correspond à l'aire sous l'hyperbole entre 1 et x.


Le premier à mettre en évidence le comportement logarithmique de l'aire sous l'hyperbole est Grégoire de Saint-Vincent en 1647 dans son ouvrage Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum. Il écrit alors : 

Si les abscisses d'une hyperbole équilatère croissent en progression géométrique, les aires des surfaces découpées entre l'hyperbole et son asymptote par les lignes ordonnées correspondantes croissent en progression arithmétique.

C'est-à-dire que l'aire sous l'hyperbole de 1 à 2 ajoutée à l'aire de 1 à 3 donnera l'aire de 1 à 6 ( ln (6) = ln(2) + ln(3) ). Ainsi, si les abscisses suivent une suite géométrique, les surfaces suivront une suite arithmétique. 

Grégoire de Saint-Vincent ne relie pas encore son travail aux logarithmes. Un de ses lecteurs, le jésuite Sarassa mentionnera que les aires hyperboliques peuvent tenir lieu de logarithmes.

Il faudra attendre le milieu du 18e siècle, après l’invention de la notion de fonction et du calcul différentiel, pour que le logarithme soit défini par Euler comme fonction réciproque de la fonction exponentielle. 

La propriété des logarithmes a permis d'inventer la règle à calcul en 1859 par Amédée Mannheim. Les nombres inscrits sur la règle suivent alors une échelle logarithmique pour calculer aisément des produits.

Selon Pierre-Simon Laplace, mathématicien, physicien et astronome français : 

L’invention des logarithmes, en réduisant le temps passé aux calculs de quelques mois à quelques jours, double pour ainsi dire, la vie des astronomes.

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jeudi 9 avril 2009

Nombres réels

Par Jerome le jeudi 9 avril 2009, 14:37 - Mathématiques

L'ensemble des nombres réels forme une droite. La propriété importante de cet ensemble est d'être continu.

Au 15 ème siècle, Nicolas de Cues énonce le principe de continuité dans De mathematica perfectione : une grandeur continue qui évolue entre une grandeur A et une grandeur B prend au moins une fois toute valeur intermédiaire. Dans les Nouveaux essais de l'entendement humain publié en 1764, Leibniz reproche à Euclide de ne donner qu'une image sensible de la droite au lieu d'une définition. Pour le philosophe et mathématicien allemand, rien ne se fait dans la nature tout d'un coup, et c'est une de mes grandes maximes et des plus vérifiées, que la nature ne fait jamais de sauts. J'appelle cela la loi de la continuité.


La continuité sera d'abord définie pour les fonctions par Cauchy dans son cours d'analyse de 1821. Il démonte le théorème de la valeur intermédiaire, sans encore se rendre compte que c'est d'abord une propriété des nombres réels avant d'être une propriété des fonctions.

Une construction rigoureuse de est due à Dedekind en 1872 dans Stetigkeit und irrationale Zahlen (Continuité et nombres irrationnels). Il définit les nombres réels grâce aux coupures :

Si l'on répartie tous les points de la droite en deux classes telles que chaque point de la première soit situé à gauche de chaque point de la deuxième classe, alors il existe un point et un seul qui engendre cette partition de tous les points de la droite, cette découpe de la droite en deux parties.

Une coupure dans le corps des nombres rationnels est définie par deux sous-ensembles non vides et tels que :

  • pour tout  et , on a .
Un exemple de coupure est définie par l'ensemble des nombres rationnels inférieurs à 7 et par l'ensemble des nombres supérieurs ou égaux à 7. Cette coupure possède la propriété  suivante : soit il existe un plus grand élément dans C1, soit il existe un plus petit élément dans C2, qui est 7 dans cet exemple. Inversement, une coupure possédant cette propriété détermine un nombre rationnel.

Il existe des coupures n'ayant pas cette propriété. Ainsi, on peut considérer, l'ensemble des nombres rationnels négatifs plus les nombres rationnels positifs dont le carré est inférieur à 2 et les autres nombres rationnels. Un plus grand élément dans ou un plus petit élément dans devrait satisfaire , ce qui est impossible pour et il ne peut y avoir de plus grand élément dans ou de plus petit dans . Cette coupure crée un nombre irrationnel a tel que . À toute coupure correspond alors un nombre, rationnel  ou irrationnel.

Pour Dedekind,

Chaque fois que nous sommes en présence d'une coupure non produite par un nombre rationnel, nous créons un nombre nouveau, irrationnel x, que nous considérons comme parfaitement déterminé par cette coupure ou qu'il engendre cette coupure.

Une autre construction des nombres réels est due à Cantor et Méray. Dans cette construction, tout nombre réel est la limite d'une suite de Cauchy de nombres rationnels.

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lundi 6 avril 2009

Nombres relatifs

Par Jerome le lundi 6 avril 2009, 15:29 - Mathématiques

Les entiers naturels désignent les nombres entiers positifs . A partir des entiers naturels, on peut construire les nombres relatifs en ajoutant les opposés. Ils sont notés pour le mot allemand die Zahl. La construction des entiers relatifs est due à Dedekind.

Les éléments de ne possèdent pas d'inverse pour la loi +. L'ensemble ajoute l'inverse pour la loi + de chaque élément et sera ainsi un groupe commutatif.


Pour définir les nombres relatifs, on considère l'ensemble des couples d'entiers. Le couple va correspondre au nombre   qui représente la distance entre n1 et n2 ou la longueur de l'intervalle .

Pour obtenir , une relation d'équivalence est ajoutée sur . Le couple est équivalent au couple si . Ainsi, (2;0) = (3;1), car 2 + 1 = 3 + 0. Deux couples sont équivalents si leur sommes en croix sont égales. On a peu l'habitude de parler de somme en croix alors qu'on parle usuellement de produit en croix. L'ensemble des entiers relatifs correspond alors à l'ensemble quotient . Un entier relatif correspond donc à la classe d'équivalence pour la relation.

Sur cet ensemble, les opérations usuelles de somme et produit peuvent être définies. Ainsi, la somme est naturellement définie par.

Le produit est défini par . Par exemple,.

Muni de ces lois, devient un anneau. Cependant, les éléments de ne possèdent pas d'inverse pour la multiplication. Pour cela, il faudra construire l'ensemble des nombres rationnels .

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vendredi 20 mars 2009

Procrastination

Par Jerome le vendredi 20 mars 2009, 14:44


Même si le mot procrastination existe en français depuis le 16 ème siècle, il reste aujourd'hui d'emploi peu fréquent. La procrastination désigne la tendance à repousser une décision ou un action à plus tard. Il est la plupart du temps réservé au langage spécialisé ou soutenu. Pourtant en anglais, ce mot compliqué est bien plus courant, et le verbe procrastinate est aussi employé, tandis que le verbe "procrastiner" n'est dans aucun dictionnaire français. Une meilleure explication de le procrastination est donnée ici.

Procrastination vient du verbe latin procrastinare qui signifie renvoyer au lendemain. Ce verbe est formé à partir de l'adverbe pro qui désigne un mouvement en avant et de cras qui veut dire demain. Le mot cras se retrouve dans crastinus pour désigner ce qui concerne le lendemain et dans procrastinatio signifiant ajournement, délai. Le sens du mot procrastination est ainsi principalement contenu dans la deuxième partie et le préfixe pro vient en amplifier le sens. Les anglais utilisent d'ailleurs aussi le mot crastination comme synonyme de procrastination. Les italiens utilisent le verbe procrastinare identique au latin. Le mot français serait donc soit un des nombreux emprunts du français à l’italien du 16 ème (dus notamment à l'influence de Catherine de Médicis), soit un emprunt direct au latin. Les anglais commencent d'utiliser le terme un peu plus tard que les français.

Classiquement, la procratination n'était pas connotée négativement comme aujourd'hui. Elle était alors un signe de sagesse et de tempérance. Il peut en effet être important de se donner du temps pour la réflexion avant d'agir trop précipitamment. La procrastination, vue comme une attente, n'était pas à l'origine considérée comme de l'inaction. Elle désigne bien plus une stratégie, l'attente du moment propice. L'inaction  physique n'est pas l'inaction intellectuelle.

Le 19 ème siècle emploie souvent le mot de manière ironique ; comme par exemple, Marcel Proust dans le cinquième tome d'À la recherche du temps perdu, La prisonnière : Cette habitude, vieille de tant d'années, de l'ajournement perpétuel, de ce que M. de Charlus flétrissait sous le nom de procrastination.

L'absence d'occupation évolue ainsi de plus en plus vers un signe de paresse. Dans La lenteur, Milan Kundera regrette cette évolution de l'inaction :

Pourquoi le plaisir de la lenteur a-t-il disparu ? Ah, où sont-ils, les flâneurs d'antan ? Où sont-ils ces héros fainéants des chansons populaires, ces vagabonds qui traînent d'un moulin à vent à l'autre et dorment à la belle étoile ? Ont-ils disparu avec les chemins champêtres, avec les prairies et les clairières, avec la nature ? Un proverbe tchèque définit leur douce oisiveté par une métaphore : ils contemplent les fenêtres du bon Dieu. Celui qui contemple les fenêtres du bon Dieu ne s'ennuie pas, il est heureux. Dans notre monde, l'oisiveté s'est transformée en désœuvrement, ce qui est tout autre chose : le désœuvré est frustré, s'ennuie, est à la recherche constante du mouvement qui lui manque.

Les universités anglo-saxonnes tiennent beaucoup plus compte que chez nous du problème de la procrastination chez leurs étudiants. On trouve très souvent des pages internet d'universités sur ce sujet, par exemple l'université de Cambridge, d'Albany ou du Queensland

Cet article est à améliorer. Je le ferai demain ...

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lundi 2 mars 2009

Algèbre

Par Jerome le lundi 2 mars 2009, 15:39 - Mathématiques


Le mot algèbre vient du livre écrit par le mathématicien d'origine perse Muhammad ibn Musa Al-Khawārizmī : Al-ĵabr wa'l-muqābalah qui veut dire en français la transposition et la réduction. Ce livre est dédié au calife Al-Ma'moun qui régna à Bagdad de 813 à 833 après son père, le célèbre calife, Haroun al-Rashid, qui régna de 786 à 809, et après une guerre de succession qui se termine par l'assassinat de son frère aîné en 813. 

Une grande partie du livre est consacrée à des problèmes de la vie quotidienne de l'époque, en particulier ceux des partages d'héritage que les droits de succession musulmans rendaient très ardus. Il traite de la résolution des équations du premier et du deuxième degré. Le mot jabr peut se traduire par restauration. Il indique dans ce cas le passage d'un terme d'une équation de l'autre côté du signe égal. Par exemple, on fait une jabr, quand on transforme y + 4 = x en y = x - 4. Le mot muqabalah est traduit par confrontation ou réduction. Il désigne l'opération consistant à réduire des termes semblables dans une équation. Par exemple, on fait une muqabalah, lorsqu'on transforme a + y - a = x en y = x.


Le livre d'Al-Khawārizmī ne contient aucun chiffre, ni aucun symbole. Toutes les équations sont exprimées avec des mots. Une constante est un dirham (du nom de l'unité monétaire grecque la drachme), l'inconnue est «la chose» ou shay ou jidhr, quand il représente la racine d'une équation, le carré de l'inconnue est nommé le mâl. Le mot shay se transcrit en xay en espagnol ancien et il est à l'origine de l'utilisation de x dans une équation pour désigner l'inconnue.

Les équations sont ramenées à 6 types :

Le titre du livre d'Al-Khawārizmī a été traduit en latin par Algoritmi de numero indorum. Algoritmi est la transformation de Al-Khawārizmī et deviendra plus tard algorithme. C'est sans doute par l'influence du mot arithmétique que l'on retrouve un t dans algorithme.

Au 16 ème, les tenants de l'abaque, les abaquistes, s'opposent aux algoristes, qui sont les tenants du calcul écrit avec les chiffres arabes. Les techniques du calcul indien avec les chiffres arabes et le zéro sont apparues en occident au 12 ème siècle avec le retour des croisades et à la suite de contacts avec les arabes d'Espagne et d'Afrique du nord. Les savants (Fibonacci est un des premiers) adaptent rapidement ce nouveau calcul écrit, alors que les commerçants continuent à utiliser l'abaque à jetons employé depuis l'époque romaine. Cette opposition se prolonge jusqu'à la révolution qui interdit officiellement l'abaque dans les écoles et les administrations. Aujourd'hui, nous sommes tous des algoristes.

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vendredi 27 février 2009

Cardinal

Par Jerome le vendredi 27 février 2009, 15:19 - Mathématiques

Un cardinal désigne un ecclésiastique chargé d'élire et d'assister le pape dans le gouvernement de l'Église. Les cardinaux sont surtout connus pour se réunir en conclave pour élire le nouveau pape. Le mot conclave vient du latin clavis voulant dire clef, car pendant leur délibération les cardinaux sont enfermés à l'abri de tout contact extérieur. Existe-t-il un rapport entre ces cardinaux et les nombres cardinaux : un, deux, trois, quatre, cinq, ...?

Pour comprendre leur relation, il faut déjà comprendre l'étymologie du mot cardinal. En latin ecclésiastique, cardinal se dit cardinalis, qui vient lui même du mot cardo qui veut dire gond, pivot. Il représente donc quelque chose de fixe et d'important. Il est employé au sens figuré pour désigner les cardinaux de l'église qui sont une autorité morale sur laquelle s'appuyer.

Le mot cardinal a d'abord été employé comme adjectif pour désigner ce qui sert de référence. Ainsi, les points cardinaux (nord, sud, est et ouest) servent à désigner la position de tous les autres. Les vents cardinaux sont des vents qui soufflent des quatre points cardinaux. Les quatre vertus cardinales sont la justice, la prudence, la tempérance et la force. L'Église l'utilise ensuite au sens figuré pour désigner certains dignitaires ecclésiastique, comme pontifex cardinalis où cardinalis veut dire principal, ou pour désigner un prêtre affecté d'une manière permanente à une église déterminée : cardinalis sacerdos, ou les évêques suburbicaires, c'est-à-dire soumis à l'autorité de Rome : episcopi cardinales.

À partir du 17 ème siècle, les nombres cardinaux servent à désigner une quantité précise : il y a 25 personnes dans la salle. Le mot cardinal devient un nom au début du 20 ème siècle avec le cardinal d'un ensemble qui correspond au nombre d'éléments qu'il contient. Ces nombres s'opposent aux nombres ordinaux qui servent à indiquer le rang d'un objet dans une collection ou l'ordre d'un événement dans une succession. Le cardinal d'un ensemble peut s'associer à un ensemble quelconque, alors que l'ordinal suppose de poser un ordre sur les éléments de l'ensemble. Cantor exprime bien cette différence  en écrivant :

J'entends par cardinal d'un ensemble M le concept universel ou générique que l'on obtient en faisant abstraction pour l'ensemble aussi bien de la constitution de ses éléments que de toutes les relations que ses éléments ont entre eux ou avec d'autres choses, donc, en particulier aussi, de l'ordre qui règne entre eux, et ne considère que ce qui est commun à tous les ensembles équivalents à M.

Un nombre ordinal peut être défini grâce à l'ensemble des ordinaux qui le précèdent. John von Neumann identifie ainsi un entier positif à l'ensemble de ses prédécesseurs sur :





Ainsi, deux est l'ensemble dont les éléments sont l'ensemble vide et l'ensemble dont l'unique élément est l'ensemble vide.

En nommant les premier nombres cardinaux, ceux-ci sont considérés comme plus importants ou plus fondamentaux.

Les numéraux cardinaux, sauf vingt et cent, sont invariables, ce qui montre leur importance. Ils ne s'accordent ni en genre, ni en nombre avec le nom auquel ils se rapportent, sauf :

- un, qui devient une devant un nom féminin, et

- vingt et cent qui se mettent au pluriel quand :

  • ils sont multipliés par un nombre plus grand que un et qu'ils ne sont pas suivis d'un autre adjectif cardinal : quatre-vingts, mais quatre-vingt-deux, deux cents, mais deux cent mille, ou
  • ils précèdent directement les noms million, milliard, billion, ... : quatre-vingts millions d'années, mais quatre-vingt-dix-sept millions, six cents millions de volts, mais six cent quarante millions.
Le nom de nombres ordinaux se forme dans la plupart des cas en ajoutant le suffixe -ième au dernier élément du nombre cardinal correspondant : le deuxième, le troisième, ... Ils s'accordent en genre et en nombre avec le nom qui suit : la vingt-cinquième heure, les premiers froids.

C'était le treizième article de ce blog ou le numéro treize.



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mercredi 25 février 2009

Pas très moral

Par Jerome le mercredi 25 février 2009, 16:59 - Mathématiques

Si a = 0, puisque et , peut-on simplifier l'égalité par a pour obtenir que 1 = 0 ?

C'est bien sûr la simplification par a qui conduit à l'erreur 1 = 0. Pour avoir le droit de simplifier par a, celui-ci doit admettre un inverse. Ainsi, pour faire disparaître a, on doit multiplier par l'inverse de a des deux côtés de l'égalité : . Seulement, dans un anneau, l'élément 0, qui est l'élément neutre de la loi +, est le seul qui n'admet pas d'inverse pour la loi multiplicative. Ainsi, l'égalité implique que a = 0. Cette propriété qui affirme que a . b = 0 implique que a = 0 ou b = 0 est nommée intégrité. L'anneau est donc intègre.

Le mot intègre ne vient pas dans ce cas du français. En effet, pourquoi un anneau pour lequel 0 n'a pas d'inverse pour la loi . posséderait-il plus de moralité que celui qui en admet ? L'adjectif intègre vient ici de l'anglais integer signifiant entier, car l'anneau intègre de référence est l'anneau des entiers relatifs . La lettre utilisée vient par contre de l'allemand Zahl (nombre). L'étude de l'algèbre trouve son origine chez des mathématiciens allemands du 19 ème siècle, comme par exemple, Kummer, Dedekind, Kronecker et Hilbert.

Les nombres entiers, puisqu'ils nous servent à compter, nous paraissent plus naturels que les autres. L'utilisation des nombres négatifs n'est devenue familière que plus tardivement. Leur construction, due à Dedekind, se fait à l'aide des entiers positifs. Les nombres négatifs deviennent ainsi relatifs aux entiers positifs. Selon Léopold Kronecker, "Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l'œuvre de l'homme". Kronecker va lui même plus loin : il ne croit pas non plus en l'existence des nombres transcendants et la construction des nombres réels due à Weierstrass. Ces idées l'amenèrent à s'opposer à Cantor, Dedekind et à Weierstrass qui fut pourtant un de ses amis.


La propriété d'intégrité est très utile pour résoudre des équations. Si on doit résoudre l'équation , on peut se ramener à (x-2)(x+2) = 0, d'où x = 2 ou x = -2.

Ils existent des anneaux qui ne sont pas intègres. Par exemple, dans , [6] . [2] = [12]. Or, la classe de 12 est égale à celle de zéro, car 12 est un multiple de 4, sans que 6 ou 2 ne soient équivalents à 0. On a l'égalité [6] . [2] = [0]. On dira que [6] et [2] sont des diviseurs de 0. L'anneau devient intègre lorsque p est premier.

Tous ces anneaux n'ayant aucune moralité, on laisse au lecteur le soin de trouver la morale de cette histoire, même si d'après Albert Camus : Aucune morale, ni aucun effort ne sont a priori justifiables devant les sanglantes mathématiques qui ordonnent notre condition. 

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samedi 21 février 2009

Dividendes

Par Jerome le samedi 21 février 2009, 16:45

Ajouté à un nom masculin, le suffixe -ande ou -ende s'oppose à -eur ou -ateur. Ainsi dans une division, le dividende s'oppose au diviseur ; mot qui désigne aussi - peu glorieusement ces temps-ci - les bénéfices versés aux actionnaires.

Moins employé, le multiplicande est le nombre qui est multiplié par un autre. Il s'oppose au multiplicateur qui sert à effectuer la multiplication. Ainsi, lorsqu'on effectue le produit a.b, on multiplie a par b : a est le multiplicande, puisqu'il va être multiplié, et b est le multiplicateur, car il apparaît après le symbole de multiplication. Le vocabulaire n'est dans ce cas pas commutatif. Pour que a devienne multiplicateur, il faudra effectuer le produit b.a. Dire que la multiplication est commutative revient à regarder le résultat de l'opération qui ne dépend pas de l'ordre des facteurs a et b, ainsi a.b = b.a.

L'expression mathématique a.b peut donc prêter à confusion. Elle aura un sens différent selon le contexte sans que rien ne soit indiqué dans l'expression. Elle peut vouloir dire soit d'effectuer l'opération de multiplication entre a et b dans l'ordre indiqué par l'expression, soit de regarder le résultat de l'opération (comme dans l'égalité). Le mot produit désigne le résultat de l'opération. Cependant, on utilise parfois par abus de langage l'expression "effectuer le produit" pour effectuer la multiplication.

Les termes en -ende/-ande et en -eur/-ateur qui sont ainsi vus par opposition, peuvent aussi se définir comme étant dérivés d'un verbe. Si la commande est ce qui est commandé, le multiplicande est le nombre qui est multiplié et le dividende, celui qui est divisé. Pour une intégrale, l'intégrande est la fonction qui est intégrée.

Multiplicande et dividende subissent donc l'opération. Pourtant, dans certains discours politiques, les travailleurs subissent le travail alors que de manière objective ils y sont simplement associés. Suggéreraient-ils alors le terme travaillande ?  qui serait sûrement ressenti à juste titre comme extrêmement méprisant.

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lundi 12 janvier 2009

Le mythe de Sisyphe

Par Jerome le lundi 12 janvier 2009, 20:02 - Littérature

En lisant Le mythe de Sisyphe de Camus, on découvre le désir de vivre de ce jeune homme de 29 ans, qui dans son enfance a eu la tuberculose. Le livre s'ouvre sur la phrase de Pindare : N'aspire pas à la vie immortelle, mais épuise le champ du possible.


Cette phrase n'est pas à comprendre selon le sens romantique. Les côtés positifs de la vie ne sont pas les seuls à considérer. Tous les aspects sont à prendre, même les plus difficiles, comme la souffrance. Puisque dès le départ, l'auteur connaît ces difficultés, il ne finira pas désespéré comme peut l'être le romantique, qui se retrouve finalement comme surpris par le trop-plein de sentiments, pouvant le mener au désespoir. Camus reste sans espoir, sans pour autant être désespéré.

Pour Camus, l'absurde n'est pas une conséquence d'un raisonnement sur la réalité, il en est au contraire le point de départ, le postulat. En réalité, le monde n'est pas absurde en lui-même ; c'est le regard raisonné que nous portons sur lui qui le rend absurde : L'absurde naît de la confrontation de l'appel humain avec le silence déraisonnable du monde. Cette coupure se retrouve dans le personnage de Meursault dans l'Étranger.

Camus n'aboutit pas à la même conclusion que les nihilistes, pour lesquels plus rien n'a de sens. Pour lui, le nihilisme serait une indifférence à la vie, pouvant aller jusqu'à justifier l'inacceptable, puisque rien n'aurait plus de valeur. Il donne une attitude à adopter face à l'absurde, faite de lucidité : "Je tire de l'absurde trois conséquences qui sont ma révolte, ma liberté et ma passion."

Même si les conclusions seront à l'opposé, les réflexions que posent Camus sont assez proches de celles de Pascal, qui se sent perpétuellement à côté d'un gouffre.

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dimanche 14 décembre 2008

Notation de Schläfli

Par Jerome le dimanche 14 décembre 2008, 23:21 - Mathématiques

Un polygone est un ensemble de segments inclus dans le plan tel que chaque extrémité de chaque sommet correspond à une extrémité d'un seul autre segment qui est non aligné avec le premier. Un polygone est dit régulier si tous ses côtes sont de même longueur et tous ses angles sont égaux.

Un polyèdre est dit régulier si toute ses faces sont identiques et sont des polygones réguliers, et en chaque sommet s'intersectent le même nombre de faces. Un polyèdre régulier est donc entièrement déterminé par son type de face et le nombre d'arêtes concourant en chaque sommet. La notation de Schläfli tient compte de ces propriétés pour représenter les polyèdres réguliers. Le symbole de Schläfli d'un polyèdre convexe régulier est {p,q} si ses faces sont des polygones avec p arêtes et si en chaque sommet se rencontrent q faces. Le symbole de Schläfli d'un cube est donc {4,3}, puisque chaque face est un carré et 3 faces (et 3 sommets) sont issues de chaque sommet du cube.

En dimension 3, il y a 5 polyèdres réguliers convexes :

  • le tétraèdre ({3,3}),
  • le cube ({4,3}),
  • le octaèdre ({3,4}),
  • le dodécaèdre ({5,3}),
  • le icosaèdre ({3,5}).

Ils sont appelés solides de Platon, qui dans le dialogue Timée (vers 358 avant J.-C.), associe à chacun des quatre éléments (la terre, l'air, l'eau et le feu) un solide régulier. La terre était associée avec le cube, l'air avec l'octaèdre, l'eau avec l'icosaèdre et le feu avec le tétraèdre. Le dodécaèdre est en correspondance avec le Tout, parce que c'est le solide qui ressemble le plus à la sphère. Euclide démontra dans le livre XIII des éléments, le dernier, que ces polyèdres sont exactement au nombre de 5.

En 1596, Johannes Kepler (1571-1630) publie Mysterium Cosmographicum où il propose un modèle de l’univers s’appuyant sur les solides de Platon. A cette époque, six planètes sont connues. Kepler remarque que les sphères représentant les orbites des planètes peuvent contenir les solides de Platon. À Mercure, il associe l'octaèdre, à Venus l'icosaèdre, à Mars le dodécaèdre, à Jupiter le tétraèdre et à Saturne le cube. La terre sert de séparation entre deux groupes de solides.

Pour un polygone convexe régulier à p côtés, la notation de Schläfli est  {p}. Pour représenter des polyèdres étoilés, les fractions sont utilisées. Ainsi, le pentagone étoilé ou pentagramme est représenté par {5/2}, ce qui signifie que ce polyèdre possède 5 arêtes et que chacune de ces arêtes relie les sommets de numéro s et s + 2. Ainsi, la première arête relie le premier et le troisième sommet, la deuxième le troisième et le cinquième, ...

La notation de Schläfli permet aussi de décrire les pavages du plan. Il y a dans le plan 3 pavages réguliers qui ont été décrits précisément par Kepler. Les symboles de Schläfli associés à ces pavages sont : {4,4} pour le pavage carré, {6,3} pour le pavage hexagonale et {3,6} pour le pavage triangulaire.

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vendredi 12 décembre 2008

Espace affine

Par Jerome le vendredi 12 décembre 2008, 18:51 - Mathématiques

Lorsque des vecteurs sont déplacés pour être additionnés ou lorsque l'on parle de points, l'espace considéré est un espace affine. Dans un espace vectoriel, les vecteurs sont tous liés à l'origine, alors que dans un espace affine, il n'y a pas d'origine privilégiée. Il n'y a dans un espace vectoriel que le vecteur nul qui peut être considéré comme un point.

L'adjectif affine vient du latin affinis qui veut dire parent (par les liens du mariage), et par extension lié ou associé.

Soit E un espace vectoriel. Un espace affine de direction E est un ensemble A muni d'une application de A \times A dans E :

                                                     (x,y) \mapsto xy

qui vérifie les deux propriétés suivantes :

  1. pour tout x, y, z \in A, xy + yz = xz ;
  2. pour tout x\in A, et pour tout u\in E, il existe un unique y\in A tel xy = u.

La première propriété correspond à l'égalité de Chasles.

La deuxième propriété permet de définir une addition de A \times E dans A par x + u = y avec tel que y tel xy = u. L'application définie par T(x) = x + u, qui est une bijection, est la translation de x par le vecteur u.

Dans un espace affine, un vecteur peut désormais être défini à l'aide de deux points A et B. Le couple (A,B) est appelé bipoint où le point A est l'origine du vecteur et B est son extrémité.

L'espace affine est de la même dimension que l'espace vectoriel E.

Un espace vectoriel peut être vu comme un espace affine. L'addition définie de  E \times E dans E vérifie les deux propriétés précédentes.

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Discours de Le Clézio pour la réception du prix Nobel

Par Jerome le vendredi 12 décembre 2008, 16:19 - Littérature


L'Académie suédoise a décerné le prix Nobel de littérature à Jean-Marie Gustave Le Clézio qui est, pour elle, un écrivain de la rupture, de l’aventure poétique et de l’extase sensuelle, l’explorateur d’une humanité au-delà et en-dessous de la civilisation régnante.

J.-M. G. Le Clézio est un écrivain continuellement en voyage, en exil. Né à Nice, il passe une partie de son enfance au Nigeria pour retrouver son père, un médecin anglais ; retrouvailles racontées dans L'africain. En Angleterre, il  écrit le Procès-verbal. Il passe son service militaire en Thaïlande, le finit au Mexique. Puis, il vit avec les indiens au début des années 70 au Panama. Il parcourt régulièrement l'île Maurice.

Le Clézio cherche d'abord à et comprendre et à vivre dans une autre culture que la sienne. Il ne se définit pas comme un écrivain voyageur :

Écrire, c’est sortir de soi, c’est devenir quelqu’un d’autre, c’est un peu comme rêver, donc voyager. Mais pas voyager pour écrire, je ne suis pas un écrivain voyageur… 
Je vais à un endroit pour ne plus être moi-même, pour me sentir libéré des rumeurs que je connais trop, des obligations qui pourraient me déranger, me sentant libre comme un oiseau… Écrire comme on volerait.

Dans son discours de réception du prix Nobel, il se demande pourquoi l'auteur écrit. L'écrivain vit une série de contradictions, qui l'entraînent, selon les mots de Stig Dagerman, dans la forêt des paradoxes,  dont le plus grand est d'écrire pour les plus pauvres, mais de n'être lu finalement que par ceux qui en ont les moyens. Cette idée reste assez proche de celle exprimée dans le discours de Camus pour qui l'auteur écrit pour ceux qui subissent l'histoire. De plus, l'auteur est témoin, si ce n'est même voyeur, lorsqu'il voudrait agir. Il vit dans la solitude quand qu'il voudrait parler pour tous

Malgré toute son étrangeté et son ambiguïté, la littérature est nécessaire pour la défense à la fois du langage, de l'identité et de la culture de chacun. Tout comme Goethe, Le Clézio défend une littérature universelle.


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