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jeudi 24 décembre 2015

Un peu de calcul mental, ça ne fait jamais de mal ...

À première vue, il peut paraître difficile de calculer de tête 125 au carré. Pourtant avec un peu d'entraînement, il est tout à fait possible d'obtenir rapidement le résultat, qui est tout simplement 15 625.

Tout d'abord, on peut remarquer que : si un nombre se termine par 5 alors son carré se termine par 25.

Pour calculer un carré se terminant par 5, on peut utiliser la méthode suivante :

On multiplie le chiffre a qui est avant 5 par son successeur a+1 et on accole 25 au résultat. Ainsi, , car 1*2=2 auquel on accole 25 ; , car 2*3 =6 auquel on accole 25.

La démonstration se fait grâce à l'identité remarquable

Cette identité remarquable permet de calculer de tête des carrés.


Ce qui donne en factorisant les deux premiers termes par 100*a :

Avec la généralisation des calculatrice, on fait de moins en moins de calcul mental et on a peu l'habitude de manipuler les chiffres. Par exemple, peu de personnes ont remarqué que si on multiplie un nombre pair par 6, le résultat se termine par le même chiffre :

6*2 = 12

6*4 = 24

6*6 = 36

6*8 = 48

6*10 = 60

Ce résultat est simplement dû au fait que 6 = 5 + 1. Par conséquent, comme le résultat de la multiplication d'un nombre pair multiplié par 5 se termine par zéro, le résultat de la multiplication d'un nombre pair par 6 se termine par le même chiffre.

La calculatrice se généralise au collège à partir de la 5ème. Si les élèves savent encore leur table en 6ème, il n'est par rare qu'elles soient oubliées ensuite. Néanmoins, la dernière réforme des programme scolaire prévoie dictée, calcul mental et lecture à l'école tous les jours. Comme le dit le titre, un peu de calcul mental, ça ne fait jamais de mal ...

mardi 29 octobre 2013

Loi de composition interne

Une fois qu'un ensemble de nombres est construit, comme les entiers naturels, relatifs, les nombres rationnels ou réels, il est possible de manipuler ces éléments pour effectuer des opérations. Pour cela, une opération sur un ensemble permet à partir de deux éléments d'en obtenir un troisième. Ainsi, à partir d'un couple d'éléments (a,b) d'un ensemble E, une opération permet d'obtenir un nouvel élément c de l'ensemble E, qui est le résultat de l'opération. Les deux éléments initiaux sont appelés les opérandes. Une opération, ou une loi de composition interne, est donc une application définie sur le produit cartésien et à valeur dans E :

On précise que la loi est interne pour exprimer qu'à deux éléments de E est associé un troisième, qui est toujours dans le même ensemble. Par exemple, la somme et la multiplication de deux entiers naturels donnent un entier naturel. Le produit scalaire de deux vecteurs de  n'est pas une loi interne, car cette loi associe à deux vecteurs de un nombre réel, et non un vecteur de . Par contre, le produit vectoriel est bien une loi de composition interne.

Une opération interne de l'ensemble E est définie sur le produit cartésien . Le produit cartésien de deux ensembles X et Y étant l'ensemble de tous les couples (x,y) tels que x est un élément de X et y un élément de Y. Il est important de remarquer qu'un couple est ordonné : si une opération est définie sur le couple alors la première composante du couple appartient à X et la deuxième à Y. L'ensemble qui contient x et y et qui n'est pas ordonné est noté, pour le distinguer du couple, avec des accolades : {x,y}. Il est dans ce cas appelé paire. La paire {x,y} est alors la même que {y,x}, tandis que le couple (x,y) est distinct de (y,x). Un mathématicien parlerait donc d'un couple de chaussures, plutôt que d'une paire, pour pouvoir distinguer la chaussure droite de la chaussure gauche.

Un ensemble muni d'un loi de composition interne est parfois appelé magma. L'ensemble des entiers naturels muni de l'addition, , est donc un magma. Il en va de même pour , qui est le même ensemble muni de la multiplication, tandis qu'avec la soustraction et la division (respectivement et ), il n'en est plus un. Un autre exemple d'ensemble qui est un magma lorsqu'il est muni de l'addition ou de la multiplication est l'ensemble des entiers pairs , puisque l'addition et la multiplication de deux nombres pairs ont à chaque fois pour résultat un nombre pair.

On a défini une opération pour deux éléments. Lorsqu'une loi opère sur plus de deux éléments, les opérations doivent être effectuées dans un certain ordre, qui est indiqué par les parenthèses. Ainsi, dans l'expression (a T b) T c, on effectue d'abord l'opération a T b, qui donne un premier résultat. Puis, si d = (a T b), on effectue ensuite d T c.

Dans l'expression (a T b) T c, le symbole d'opération T apparaît deux fois, ce qui correspond au nombre de fois que l'opération sera effectuée. Usuellement, la loi de composition T est placée entre les opérandes sur lesquelles elle agit. Cette notation est appelée notation infixée. On peut aussi considérer que l'opération T opère sur les 3 éléments simultanément. La notation préfixée met cela en valeur : T a b c. Elle est aussi appelée notation polonaise, car elle fut d'abord utilisée par le mathématicien polonais Jan Lukasiewicz (1878 - 1956). Par exemple, le langage de programmation Lisp utilise la notation préfixée avec parenthèses. Dans ce langage, l'expression (* 3 (+ 10 5) ) correspondra alors à : 3 * (10 + 5). Il est aussi possible de placer le symbole T après les opérandes, ce qui donne la notation postfixée, ou polonaise inversée : a b c T. Le langage PostScript utilise ainsi cette notation. Ces deux dernières notations présentent l'intérêt de ne pas utiliser de parenthèses lorsqu'une même opération est appliquée à plus de deux opérandes.

Dans ces exemples, la loi de composition opère sur trois éléments. En informatique, on parle de l'arité d'un opérateur pour désigner son nombre d'arguments. Dans les exemples précédents, l'opérateur est ainsi ternaire. Un opérateur unaire accepte un seul argument. Par exemple, le symbole - utilisé pour l'opposé est unaire : -2 pour l'opposé de 2.

Une opération est associative si l'ordre dans lequel sont effectuées les opérations ne modifie pas le résultat, c'est-à-dire que :  (a T b) T c = a T (b T c). L'addition et la multiplication sont associatives, car : (a + b) + c = a + (b + c) et . La soustraction ne l'est pas, car :

De même, le produit vectoriel n'est pas associatif.

Un ensemble muni d'une loi de composition interne associative est appelé demi-groupe ou semi-groupe. Puisque la loi $+$ des entiers naturels est une loi qui est interne et associative, est un demi-groupe ; tout comme , car la loi + possèdent ces mêmes propriétés pour les entiers pairs.

samedi 2 février 2013

La tache

Comme dans L'Écrivain des ombres, ou plus récemment dans Exit le fantôme, le narrateur de La tache (The Human Stain) est Nathan Zuckerman, professeur d'anglais à l'université en retraite.

Coleman Silk, ancien professeur de lettres classiques et doyen d'université, a pris sa retraite anticipée, suite à des accusations de racisme. Après avoir fait l'appel au début des premiers cours, comme deux étudiants n'étaient pas présents, il demanda : "Est-ce que quelqu'un connaît ces gens ? Ils existent vraiment, ou bien ce sont des zombies ?" (Does anyone know these people? Do they exist or are they spooks? ) Or, en anglais, spook signifie zombie ou spectre, mais désigne aussi un noir dans l'argot d'il y a une cinquantaine année.

On voit ainsi la difficulté du traducteur qui ne peut traduire ce double sens et doit ajouter une note en bas de page pour l'expliquer. D'autant plus, que pour se défendre, Coleman Silk, professeur de littérature, expliquera que sa langue est la langue anglaise, celle des grands auteurs comme Shakespeare, qu'il connaît toutes les nuances des mots et qu'il ne peut employer un mot pour un autre.

Le titre pose également un problème de traduction. En effet, le titre original est The human stain. En anglais stain possède à la fois le sens propre d'une marque qui salit et le sens figuré  d'une atteinte à la réputation d'une personne. Or, le titre du livre est ici à comprendre selon ce deuxième sens qu'un lecteur anglais peut comprendre initialement, alors que le lecteur français ne peut le comprendre qu'en lisant le livre. Deuxièmement, l'adjectif humain disparaît dans le titre français. Le titre original laisse entendre que ce n'est peut être pas seulement la réputation de Coleman Silk qui est entachée, mais peut-être aussi celle de ceux qui l'ont accusé, et probablement de manière plus générale, c'est celle de toute personne de la société qui peut l'être. Une autre difficulté qui apparaît en français est que le titre sur la couverture est en majuscule. Le lecteur français ne sait donc pas s'il y a un accent circonflexe sur le a, et s'il faut comprendre la tache qui salit ou la tâche au sens d'un travail à accomplir. La nuance de l'anglais disparaît en français et une ambiguïté peut apparaître dans cette seconde langue.

Le style de Roth, drôle et ironique, tout en restant simple, est parfois proche de celui de Kundera, même s'il est moins explicatif ou moins porté sur la réflexion philosophique. De plus, l'épisode de Coleman Silk rappelle la Plaisanterie de Kundera où le personnage principal envoie à une de ses amies une carte postale sur laquelle il écrit une phrase, qu'il voulait comique, sur Trotski. Même s'il n'y a pas d'humour dans la phrase de Silk, Roth montre que le politiquement correct empêche de dire certaine chose ou peut être un prétexte pour attaquer quelqu'un. Kundera montre, lui, qu'il est difficile de rire à propos des idéologies, des régimes politiques totalitaires ou des religions. Le nom de Kundera est d'ailleurs cité plusieurs dans le livre.

L'auteur de La tache réussit à travers une fiction à décrire et à critiquer une Amérique puritaine, à la fin des années 90, au moment de l'affaire Lewinsky. Le récit n'est pas toujours chronologique, avec des retours en arrière - ou des flash-backs en bon français -, qui créent un certain suspens. Le lecteur comprend qu'il y a des choses dans la vie Coleman Silk que l'on ne sait pas encore. Dans certains paragraphes, le narrateur change pour donner un point de vue différent.

Ce livre a reçu différents prix : le PEN/Faulkner Award en 2001 et le  prix  Médicis étranger en 2002. Il a été adapté en 2003 au cinéma: La couleur du mensonge avec Anthony Hopkins, Gary Sinise et Nicole Kidman.

Roth est souvent cité pour le prix Nobel. Seulement, le comité semble peu porté ces derniers temps à récompenser des auteurs américains. Toni Morrison est le dernier auteur américain à recevoir le prix Nobel en 1993. En octobre 2008, l’ancien secrétaire de l’Académie Nobel, Horace Engdahl expliquait devant l'Associated Press :

Il existe bien sûr des auteurs forts dans toutes les grandes cultures, mais on ne peut pas nier le fait que l’Europe est toujours le centre du monde littéraire... pas les Etats-Unis [...]. Les auteurs américains sont trop sensibles à l’évolution de leur propre culture de masse. […] Les Etats-Unis sont trop isolés, trop insulaires. Ils ne traduisent pas assez et ne participent pas réellement au grand dialogue de la littérature. Cette ignorance est restrictive.

L'année suivante, le nouveau secrétaire perpétuel Peter Englund revient sur ces propos en énonçant qu'il est forcément plus facile pour les Européens d'être en phase avec la littérature européenne.

On peut toujours considérer qu'il y a des auteurs oubliés par le Nobel. Il est toujours temps de corriger cette négligence.

dimanche 9 septembre 2012

L'ensemble vide, ce n'est pas rien !

Il n'existe qu'un seul ensemble qui ne contient aucun élément : l'ensemble vide, noté . Cet ensemble est un peu particulier, puisqu'il ne contient rien. Sa définition est : C est l'ensemble vide si et seulement si pour tout x, on a : 

Ce qui signifie qu'il serait faux de trouver un élément appartenant à cet ensemble. Cette définition a ceci de paradoxal : elle pose un ensemble qui ne contient rien.

L'existence de l'ensemble vide est posé par le second axiome de la théorie des ensembles. Ce dernier dit finalement que rien existe et qu'il est possible de former un ensemble qui le contient. Autrement dit : il existe un ensemble qui ne contient rien. Cet axiome peu paraître a priori déroutant. Néanmoins, l'ensemble vide est nécessaire à la théorie des ensembles. Une analogie peut être faite avec l'entier naturel 0, qui ne dénombre aucun élément, mais qui pourtant est nécessaire à la construction des entiers naturels et qui est bien utile pour la numérotation. Il représente d'ailleurs le cardinal de l'ensemble vide, et inversement l'ensemble vide sert aussi à construire l'entier naturel 0.

Grâce à la définition de l'égalité entre ensembles, l'ensemble vide est unique. Deux ensembles sont égaux s'ils contiennent exactement les mêmes éléments :

La plupart du temps, cette définition est utilisée pour prouver que deux ensembles sont égaux à l'aide de la double inclusion. Mais, dans le cas de l'ensemble vide, il est impossible de raisonner avec la double inclusion, puisqu'il ne contient aucun élément. Pour démontrer l'unicité de l'élément vide, comme le plus souvent, on suppose par l'absurde, qu'il existe un deuxième ensemble V possédant la même propriété que l'ensemble vide .

Cependant, la formulation négative de la définition de l'ensemble vide (pour tout x, ) est peu commode à utiliser. On emploiera plus aisément le fait que s'il existait un élément x dans l'ensemble vide, cela conduirait à l'absurdité suivante : toute propriété énoncée sur l'élément x serait fausse. Par sa grande généralité, cet énoncé est beaucoup plus pratique à utiliser. Il s'écrit formellement :

où le symbole ~ indique la négation de la proposition entre parenthèses et xPx désigne une propriété P reliant x à x. L'énoncé formel exprime que cette dernière propriété ne sera jamais vérifiée. On peut remarquer que le quantificateur il existe s'applique ici à la propriété P. Ce genre d'énoncé appartient à la logique du deuxième ordre, due à Gottlob Frege (1848 - 1925), considéré comme un des fondateurs de la logique moderne, qui a le premier fait aussi porter les quantificateurs sur des prédicats P, et non plus seulement sur les variables, comme il était d'usage de le faire avant lui. Par opposition, la logique où les quantificateurs portent uniquement sur les variables est appelée logique du premier ordre.

Il est possible de considérer n'importe quelle propriété P. Un cas simple est d'utiliser l'égalité. Ce qui donne alors :

qui est équivalent à :

Ce qui voudrait dire qui si un élément appartenait à l'ensemble vide, il ne serait pas identique à lui-même. Cette conclusion est incompatible avec ce qui est appelé classiquement le principe d'identité. Bertrand Russel (1872 - 1970) explique qu'à partir d'une proposition fausse, n'importe quelle proposition peut être déduite. À un étudiant, qui lui demanda s'il pouvait démontrer qu'il était le Pape à partir de 2 + 2 = 5, il fit la démonstration : 

Supposons que 2 + 2 = 5. Soustrayons 2 de chaque membre de l’identité. Nous obtenons 2 = 3. Par symétrie, 3 = 2. Soustrayant 1 de chaque côté, il vient : 2 = 1. Maintenant, le Pape et moi sommes deux. Puisque 2 = 1, le pape et moi sommes un. Par suite, je suis le Pape.  

Si l'on raisonne par l'absurde, on suppose qu'il peut y avoir deux ensembles définis par :

Ce qui conduit aux équivalences suivantes :

Tout cela est assez logique puisque les deux ensembles sont définis exactement de la même manière. Mais, la théorie des ensembles se garde bien de toute évidence. Elle peut parfois donner l'impression de ne démontrer que de simples banalités. Comme le dit Ludwig Wittgenstein (1889 - 1951) dans le Tractatus logico-philosophicus : Toutes les propositions logiques sont des tautologies et Par conséquent, il ne peut jamais y avoir de surprises en logique.

Pour construire les entiers naturels, l'ensemble vide est donc nécessaire, puisqu'il est utilisé pour former initialement l'entier 0. Par l'unicité de l'ensemble vide, l'entier 0 est lui-même unique.

D'autre part, l'ensemble vide est un sous-ensemble de tout autre ensembles : ne possédant aucun élément, il est possible de dire que tous ses éléments sont contenus dans un ensemble quelconque E. Tout ensemble contient ainsi l'ensemble vide. Le philosophe des sciences Wesley Salmon (1925 - 2001) explique l'existence de l'ensemble vide :

L'imbécile croit que les ensembles vides n'existent pas. Mais s'il en était ainsi, alors l'ensemble de tous ces ensembles serait vide, et par conséquent, celui-ci serait l'ensemble vide ...

lundi 13 février 2012

Binôme de Newton

Une application des combinaisons est le développement du binôme :  (a + b)n. Ce polynôme est appelé binôme, car il est composé de deux termes. Pour le développer, on peut écrire cette expression sous la forme du produit :

(a + b) (a + b) ... (a + b).

Afin de n'oublier aucun terme, on les ordonne selon les puissances décroissantes de a. Le premier terme est donc an. Pour l'obtenir, on prend le terme a dans chaque facteur (a + b). Il n'y a alors pas le choix pour former le terme contenant an, qui ne peut être formé que d'une seule façon. Le coefficient devant an est donc 1.

Le deuxième terme est de la forme an-1 b. Pour obtenir une seule fois b, on doit choisir un facteur (a + b) parmi les n, où b sera pris. Dans tous les autres facteurs, on prendra a. On doit donc choisir un facteur parmi les n dans lequel on prendra b. Une fois le facteur choisi pour b, on prend tous les autres pour obtenir an-1, ce qui ne laisse plus le choix pour obtenir les a. Il y aura ainsi possibilités, c'est-à-dire n, pour choisir le facteur qui permettra d'obtenir le b du monôme an-1 b.

Pour obtenir le k ème facteur, qui est de la forme ak bn-k, on devra choisir k facteurs parmi n où l'on prendra b. Le coefficient devant ak bn-k est donc .

Par exemple, si l'on veut développer le binôme : (a + b)3, le terme a est pris dans les 3 facteurs pour obtenir a3. Pour former le terme suivant a2 b, il faut choisir un facteur (a + b) parmi les 3 présents pour obtenir b ; quand celui-ci est choisi, les a sont pris dans les 3 autres facteurs. Il y a donc 3 possibilités pour choisir le facteur où l'on prend b. De même, le coefficient devant a b2 est 3, car pour choisir 2 facteurs parmi 3, il y a 3 possibilités. Enfin, il n'y a qu'une seule possibilité pour obtenir b3, car il faut prendre tous les facteurs.

On observe qu'il y a une symétrie dans les coefficients, puisqu’on a :

Le premier coefficient est ainsi le même que le dernier, le deuxième est le même que l'avant-dernier, ... En effet, il revient bien au même de choisir les k facteurs où l'on choisit les a, que de choisir les (n - k) facteurs où l'on choisit les b, pour obtenir le monôme ak bn - k. On a peut donc écrire dans le développement :

ou

selon que l'on considère le nombre de façons de choisir les a ou de choisir les b pour former les termes de la forme ak bn - k

On obtient les coefficients du développement par la formule  du binôme de Newton :

Une façon de trouver les coefficients qui interviennent dans cette formule est d'utiliser le triangle de Pascal. Blaise Pascal lui consacre un livre entier en 1623 : le Traité du triangle arithmétique, mais qui ne sera publié qu'à titre posthume en 1665 par Guillaume Desprez. Dans ce livre, Pascal introduit aussi le raisonnement par récurrence. Le triangle était cependant déjà connu des mathématiciens persans, comme Omar Khayyam au XI ème siècle qui l'utilise pour développer (a + b)n. En 1685, Isaac Newton généralisa la formule à des exposants non entiers, ce qu'on appelle la formule du binôme généralisée.

Le triangle de Pascal est construit selon la formule de récurrence :

Pour comprendre cette relation entre les coefficients, on peut utiliser le fait que si deux ensembles sont disjoints, on peut faire la somme de leur cardinaux. Si A et B sont deux ensembles disjoints alors :

Pour utiliser cette propriété pour calculer le cardinal d'un ensemble, on partage l'ensemble dont on souhaite calculer le cardinal en deux ensembles disjoints pour pouvoir faire la somme de leur cardinal.

Considérons un ensemble E dont on souhaite donner l'ensemble de toutes les combinaisons. Soit un élément x de l'ensemble E. Les combinaisons peuvent alors être partagées entre les combinaisons contenant l'élément x et les combinaisons ne contenant pas cet élément.

Pour former les combinaisons contenant l'élément x, une fois l'élément x choisi, il reste (k - 1) éléments à choisir parmi les n restants, c'est-à-dire qu'il y a combinaisons contenant l'élément x. Pour les combinaisons qui ne contiennent pas l'élément x, on choisit k éléments parmi tous les éléments sauf x, il y a donc combinaisons sans l'élément x. On retrouve donc la somme :

Par exemple, si on considère l'ensemble E = {a,b,c,d}, on peut d'abord considérer toutes les combinaisons contenant l'élément a : {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, puis celles ne contenant pas l'élément a : {b,c,d}. On a ainsi former toutes les combinaisons de l'ensemble E et en peut voit qu'il y en 4 dont 3 contiennent l'élément a et une seule qui ne le contient pas.

On trouve sur les site image des mathématiques des billets sur le triangle de Pascal : le triangle de Pascal, devinette en chiffres arabes.

lundi 6 février 2012

La combine des combinaisons

Les combinaisons ont une importance fondamentale en probabilité, puisqu'elles permettent de faire certains dénombrements, c'est-à-dire de compter le nombre d'éléments d'ensembles. L'étude des combinaisons a commencé à être traitée de façon rigoureuse avec le développement des probabilités au XVIIe siècle, notamment avec Blaise Pascal et Pierre de Fermat, qui échangèrent des lettres à propos de problèmes de jeux de hasard et d'espérance de gain. Dans leur correspondance, ils cherchent par exemple à résoudre le problème des partis : on considère ainsi que deux joueurs jouent à un jeu de hasard en 3 parties gagnantes (par exemple à pile ou face). Chacun a misé la moitié d'un enjeu total S, et le premier qui a gagné n parties obtient la somme totale S. Or, pour une raison quelconque, le jeu doit être interrompu avant la victoire de l'un d'eux. Il faut alors faire le parti, c'est-à-dire le partage de l'enjeu total entre les deux joueurs. En 1655, au cours d'un voyage en France, Christiaan Huyghens prend connaissance de la correspondance de Pascal et Fermat. En 1657, il publie un livre sur le calcul des probabilités : De ratiociniis in ludo aleae (Sur le calcul dans les jeux de hasard). Il y définit et utilise la notion d'espérance, mais il ne prétend pas pour autant être l'inventeur du calcul des probabilités qu'il attribue à Pascal et Fermat.

Les combinaisons sont enseignées en terminale, mais les modifications du programme ont rendu ce sujet obscur. La formule

y est donnée sans aucune explication. Elle doit donc être apprise par cœur sans être comprise. C'est que pour comprendre les combinaisons, il faut d'abord parler des arrangements. Seulement, depuis quelques années, les arrangements ont été supprimés du programme du lycée, ce qui fait qu'il est impossible de justifier la formule des combinaisons. Les réformes qui se suivent suppriment ainsi des choses qui permettent d'en comprendre d'autres. Chaque notion est alors de moins en moins comprise. On peut choisir pourquoi pas de simplifier le programme, mais en profiter alors pour mieux comprendre les notions enseignées, ce qui n'est pourtant pas le cas.

La seule amélioration apportée est peut être l'utilisation de la notation internationale

au lieu de la notation française, et qui sont apparues en 1904 dans  l'encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, publiée de 1904 à 1916 sous la direction de Jules Molk. La notation internationale est proche de celle d'Euler qui utilisa la notation :

Cette notation s'est simplifiée en au 19ème siècle pour donner la notation internationale.

Les bons (?) livres du supérieur expliquent que les combinaisons sont le nombre d'injections d'un ensemble à k éléments dans un ensemble en possédant n. Tout cela donnent des définitions qui sont la plupart du temps présentées de façon abstraite sans référence à un sujet concret. Il serait tout de même plus parlant de commencer par expliquer que les combinaisons permettent de calculer la probabilité de gagner au loto. Mais cela n'explique pas encore la formule et pourquoi il y a un k! au dénominateur. Pour comprendre cette formule, avant de jouer au loto, il faut commencer par jouer au tiercé afin de voir concrètement la différence. Ce qui permettra par la suite de justifier les formules employées. Ce dernier cas du loto correspond aux arrangements.

Le mot arrangement est bien de la même famille que le verbe ranger, puisqu'il s'agit de donner les numéros dans le bon ordre. Ce qui n'est pas le cas au loto où les numéros sont simplement cochés sur la grille sans tenir compte de leur ordre de sortie au moment du tirage.

Pour donner un exemple simple, considérons un exemple avec 5 chevaux pendant la course. Le but est alors de donner les 3 premiers chevaux dans l'ordre de leur arrivée. On peut alors donner l'ensemble de toutes les possibilités. Par exemple, toutes celles qui commencent par 1 :

(1, 2, 3) ;  
(1, 2, 4) ; 
(1, 2, 5) ; 
(1, 3, 2) ;  
(1, 3, 4) ;
(1, 3, 5) ; 
(1, 4, 2) ;
(1, 4, 3) ;
(1, 4, 5) ; 
(1, 5, 2) ; 
(1, 5, 3) ;
(1, 5, 4).

On voit alors qu'il y en a 12. De même, on pourrait donner toutes les possibilités commençant par 2, celles par 3, par 4 et par 5. À chaque fois, il y en aussi 12. Ce qui donne 60 arrangements au total.

Pour choisir le premier cheval, il y a 5 possibilités. Une fois le premier cheval choisi, le deuxième est à choisir parmi les 4 restants. Quand les deux premiers chevaux sont choisis, le troisième est choisi parmi les 3 restants. Ainsi le nombre total d'arrangements possibles est :

On peut exprimer ce résultat avec les factorielles qui sont définies par le produit :

Cette notation est due à Christian Kramp dans Éléments d'arithmétique universelle publié en 1808. Si l'expression 5! est ajoutée au numérateur, les facteurs 2 et 1 seront en trop. Pour les supprimer, il faudra alors diviser par 2!. Ce qui donne alors pour cet exemple :

La formule générale des arrangements est alors donnée par : 

Dans le cas du loto, l’ordre des numéros n'a cette fois plus d'importance. Il y a alors des combinaisons qui sont identiques. Par exemple, il y a 6 combinaisons qui sont identiques à (1,2,3)

(1, 2, 3) = (1,3,2) = (2,1,3) = (2,3,1) = (3,1,2) = (3,2,1).

À chaque fois, pour un arrangement, il y a 6 façons de changer l'ordre des chiffres. Ce sont les permutations que l'on peut former avec 3 chiffres différents. Pour passer des arrangements aux combinaisons, il faut donc supprimer les éléments identiques, qui sont les permutations. Il s'agit alors de savoir combien de sous-ensembles contenant chacun k éléments il est possible de former avec un ensemble en contenant initialement p. C'est une des utilités de la division : il y aura p/k sous-ensembles contenant chacun k éléments. Ainsi, s'il y a 60 éléments au départ, qui correspondent aux arrangements de 3 éléments parmi 5, pour trouver les combinaisons de 5 éléments parmi 3, on cherche à savoir combien il est possible de former de sous-ensembles contenant chacun 6 éléments : il y en a alors 60/6 = 10.

Ainsi, pour passer des arrangements aux combinaisons il faut supprimer les permutations de k éléments qui sont des doublons pour les combinaisons, c'est-à-dire des éléments identiques. Ce qui justifie la formule des combinaisons :


vendredi 4 novembre 2011

Bijection

Si on regarde un cours de mathématiques de terminale, on est assez étonné que la définition du mot bijection n'est à aucun moment donnée. Pourtant, on demande d'utiliser cette notion en exercice.

La définition rigoureuse d'une bijection est donnée en première année de fac, où on explique qu'une fonction bijective est d'être à la fois une injection et une surjection. Comme cette définition exacte n'est donnée que plus tard, on ne la donne plus en terminale.

Pourtant, dans le dictionnaire Larousse, à bijection, on peut lire : une application bijective est une application qui établit entre les éléments de deux ensembles une correspondance telle que tout élément de l'un a un correspondant et un seul dans l'autre ensemble. Cette définition est exacte et est tout à fait compréhensible.

On se rend donc compte que l'excuse de dire qu'on ne peut pas donner de définition rigoureuse en terminale ne tient pas, puisqu'on peut le faire sans introduire de nouvelles notions.

De plus, le dictionnaire donne un synonyme de bijection : application biunivoque. Univoque est le contraire d'équivoque, c'est-à-dire qu'un mot univoque conserve le même sens dans des emplois différents. Le préfixe bi- signifie qu'une application bijective est équivoque dans les deux sens : à un x correspond un seul y et inversement à un y correspond un seul x. On comprend donc mieux ce que veut dire le mot bijection : on retrouve le préfixe bi- qui indique une même opération dans les deux sens. Le suffixe -jection est de la même famille que jeter : on  jette un x sur un y, et inversement on jette un y sur un x.

Les anglo-saxons, qui ne cherchent pas à tout compliquer, utilisent le mot one-to-one correspondence pour fonction bijective : à un, elle associe un. Si l'on voulait être plus précis, il faudrait indiquer aussi : one-backward-one, qui permettrait d'indiquer qu'à un y correspond un seul x. Alors que one-to-one indique qu'a un x correspond un seul y.

Les bijections servent essentiellement à deux choses :

  1. à démontrer que l'équation E(X) = y admet une solution unique quand la fonction E est une bijection ;
  2. à montrer que la fonction f admet une fonction inverse lorsque f est une bijection : ainsi la fonction ln possède une fonction inverse qui est l'exponentielle

À force de ne leur donner aucune définition précise, certains élèves en viennent à tout confondre : équation, fonction, variable, inconnue, ...  Pense-t-on que parce que les mathématiques possèdent une certaine abstraction, on ne peut utiliser des mots précis ? Seulement, si on ouvre un dictionnaire, toutes ces définitions sont données. On ne peut pas faire autrement que d'ancrer la compréhension sur le langage.

lundi 31 octobre 2011

Conservation de l'énergie

Le concept d'énergie renvoie en physique à un concept assez abstrait. De plus, l'énergie apparaît multiple : énergie cinétique, énergie potentielle, ... Dans leçons sur la physique, Richard Feynman explique que la principale caractéristique de l'énergie est d'être conservée. Il déclare alors que cette loi affirme qu'il y a une certaine quantité que nous appelons énergie, qui ne change pas dans les multiples modifications que peut subir la nature. C'est une idée très abstraite, car c'est un principe mathématique ; ce principe dit qu'il existe une quantité numérique, qui ne change pas, lorsque quelque chose se passe. Ce n'est pas la description d'un mécanisme, ou de quoi que ce soit de concret ; c'est simplement ce fait étrange que nous puissions calculer un certain nombre et que, lorsque nous avons terminé d'observer l'évolution de la nature et que nous recalculons ce nombre, il soit le même.

Jusqu'au 19 ème siècle, le mot force était parfois utilisée pour désigner l'énergie. Cela vient en fait de l'allemand où le mot Kraft est ambigu et est traduit en français par force. Ainsi, Hermann von Helmholtz écrit en 1848 : Über die Erhaltung der Kraft, que l'on peut traduire par Sur la conservation de la force. C'est qu'en allemand, le mot Kraft est équivoque et renvoie à la fois à la force appliquée à un corps et à la puissance ou la capacité d'action, qui est assez proche de l'énergie. Le mot Energie existe pourtant en allemand, mais il n'est pas employé par le physicien allemand.

La page allemande de Wikipedia explique l'origine du mot Kraft. Il vient de l'ancien allemand et fait référence à la tension musculaire. En allemand, Kraft désigne une condition physique ou mentale qui permet exécuter certaines actions. Un deuxième sens désigne l'exécution de l'activité elle-même et est alors plus proche de la notion de force en physique.

Dans le langage juridique, dans l'ancien allemand plus soutenu, Kraft veut dire validité ou efficacité. On retrouve encore cet emploi dans certaine expression actuelle allemand signifiant en vertu de (ainsi, en allemand, Kraft seines Amtes veut dire en vertu de ses fonctions, Kraft est alors suivi du génitif). En français, on trouve l'expression en vertu des pouvoirs qui me sont conférés.

Depuis environ la fin de la 18e siècle, Kraft renvoie aussi à un groupe de personnes constituant un vecteur de force (die Streitkräfte : les forces armées). Au 20 ème siècle, le mot Kraft est aussi utilisé pour parler de l’énergie produite par une machine  (das Kraftwerk : la centrale électrique). En anglais, craft désigne l'artisanat.

Les physiciens anglais comme James Joule, William Rankine ou William Thomson (lord Kelvin) parlèrent eux de l'énergie. Ils s'intéressaient surtout à l'amélioration des moteurs au moment de la révolution industrielle. Les allemands comme Julius von Mayer ou Hermann von Helmholtz, qui étaient aussi intéressés aussi par la physiologie et les problèmes de la chaleur animale employaient le terme de force. Les physiciens se posèrent alors la question de savoir si les physiciens anglais et allemands parlaient de la même chose.

C'est Peter Tait, élève de William Thomson, qui reformula les travaux de ce dernier. Il identifie alors les conclusions de Helmholtz et de Thomson. Tait emploie alors le mot énergie (energy) et non celui de force. À cela, il y a probablement deux raisons : d'abord, pour se démarquer des allemands dont la conception était jugée trop métaphysique ; ensuite, parce que l'énergie était utilisée par les mécaniciens pour désigner ce qu'on appelle aujourd'hui le travail mécanique qui se transforme à l'aide des machines industrielles.

Il semble que la conservation de l'énergie ait d'abord été énoncée en physique pour la première fois par Jean Bernoulli en 1717 dans une lettre écrite à Varignon où il définit lénergie comme le produit de la force appliquée à un corps par le déplacement subi par ce corps. Ce qu'aujourd'hui nous appelons le travail d'une force.

Il est assez étonnant que Bernoulli emploie le terme d'énergie, car chez Aristote l'energeia désigne le mode d'être en acte, qui correspond à une actualisation au cours de laquelle la matière reçoit une forme, ce qui n'a pas grand chose à voir avec une quelconque conservation. Elle s'oppose à dunamis le mode d'être en puissance.

Pour Bernoulli, il y a actualisation du travail lors d'un déplacement virtuel. Il reprend en les idées de Leibniz qui pensait que quelque chose se conserve et qu'il appelait vis viva (force vive) définie comme le produit de la masse par le carré de la vitesse. Il s'opposait à Descartes qui pensait que la quantité de mouvement se conservait. Cette idée de conservation était liée à l'idée d'unité de la nature qui était associée à l’unicité de Dieu. En 1692, Leibniz écrit :

Qu’il se conserve toujours la même quantité de mouvement dans l’univers, c’est la plus célèbre théorie des cartésiens. Cependant ils n’en ont pas donné de démonstration ; car la raison tirée de la constance de Dieu est tellement faible que cela n’échappera à personne. En effet, même si la constance de Dieu est absolue et s’il ne change rien sinon les lois d’un ordre établi depuis longtemps, la question se pose cependant de savoir ce que Dieu a décidé de conserver dans la série des changements : si c’est la quantité de mouvement, ou bien quelque autre chose différente, comme par exemple la quantité des forces. J’ai démontré que c’est cette quantité des forces qui se conserve, qu’elle est différente de la quantité du mouvement, et qu’il arrive très souvent que cette dernière subit un changement, alors que la quantité des forces reste égale.

Kant, dans Critique de la raison pure, parle aussi d'un principe de conservation qu'il nomme principe de permanence de la substance :

La substance persiste dans tout le changement des phénomènes et sa quantité n'augmente pas ni ne diminue dans la nature.

C'est en 1905 qu'Albert Einstein montre qu'il y a équivalence entre la masse et l'énergie. Il unifie ainsi les deux notions de physique qui avait un rapport avec l'idée de la substance en philosophie.

samedi 29 octobre 2011

Dans tous ses états

L'expression "équation d'état" est issue de la thermodynamique, où elle désigne une équation reliant, à l'équilibre thermodynamique, des variables mesurables qui définissent l'état d'un système et qui ne dépendent que de l'état macroscopique du système considéré. Ces variables sont naturellement appelées variables d'état. Par exemple, la loi des gaz parfaits de Boyle-Mariotte, PV = nRT est une équation d'état, qui indique que sous les mêmes conditions de température et de pression, un gaz a toujours le même volume V.

Dans ce genre d'équation, il est possible de distinguer deux types de variables :
  1. les variables intensives, qui sont indépendantes de la quantité de matière ;
  2. les variables extensives, qui à l'inverse, sont dépendantes de la quantité de matière.
Ainsi, dans la loi des gaz parfaits, la température et la pression sont des variables intensives et le volume du gaz considéré est une variable extensive. On peut alors remarquer que les variables intensives correspondent aux conditions imposées par l’environnement sur le système et que les variables extensives, qui sont des propriétés intrinsèques au système, correspondent à la réponse de celui-ci.

De manière générale, tout échange d'énergie fait intervenir deux types de grandeur (intensive et extensive). On parle alors de grandeurs conjuguées. Des exemples sont : en thermodynamique, la température T, qui est intensive, est associée à l'entropie S, extensive ; en mécanique, la force F (intensive) et le déplacement dl (extensive) ; en électricité, le potentiel électrique V (intensive) et la charge q (extensive).

Le produit d'une variable intensive par une extensive donne une variable extensive. De plus, leur produit est homogène à une énergie. Ainsi, le travail d'un force,

est extensif et son unité est le joule (J). Le quotient de deux variables extensives donne une variable intensive. Par exemple, la masse volumique est une variable intensive, puisqu'elle est donnée par la formule :

où la masse m et le volume V sont des grandeurs intensives.

lundi 24 octobre 2011

La forme ?

Le mot information et ses dérivées sont beaucoup employés : je n'ai pas été informé de cette réunionles information télévisées. À force d'employer abusivement certains termes, on finit par ne plus savoir ce qu'ils veulent dire véritablement. Le verbe informer est de la même famille que le mot forme. Il signifie à l'origine donner une forme à un substrat ou à une matière qui au départ en était dépourvu. Ce verbe vient du latin informare donner forme. Ainsi, on peut dire qu'un sculpteur informe un bloc de pierre pour en faire une statue. Un auteur donne une forme à un texte en fonction des idées qu'il veut faire passer (le fond).

Dans sa philosophie de la nature, Aristote donne de l'importance à l'information. Il appelle sa philosophie hylémorphisme, du grec hyle (matière) et morphè (forme) où chaque objet ou être possède à la fois une forme et est composé de matière. Les grecs donnent un aspect plus idéaliste encore à la forme qui est pour eux plus une idée, l'essence, les universaux. La forme se rapproche de que nous appelons le fond d'un texte.

L'acquisition de la connaissance peut se voir comme cette dernière informant le sujet qui apprend. Les données sensibles, qui viennent de l’extérieur, viennent informer l'intellect et restructurent ses connaissances.

Aujourd'hui, on accorde de plus en plus de suspicion à ce que disent les journalistes. On ne croit plus à leurs informations. On finit alors par ne plus croire en rien.  Or, il y a de plus en plus de moyens de connaître l'actualité, avec internet surtout. Ce qui doit s'accompagner d'un tri des données permettant de faire la part des choses pour distinguer le vrai du faux. Deux attitudes extrêmes sont alors possibles : soit le scepticisme, qui pense qu'il est impossible d'atteindre la vérité, soit le relativisme (que d'ailleurs Karl Popper considérait, dans La société ouverte et ses ennemies (1945), comme la principale maladie philosophique de notre temps ), qui au contraire accorde une légitimité à toutes théories qui ne deviennent plus qu'un point de vue comme un autre. Dans les deux cas, on renonce à la notion de vérité. On risque alors d'être déformé ... 

vendredi 30 septembre 2011

Splendeurs et misères de l'enseignement des maths

La fin de l'article sur les dérivées se montre critique sur l'enseignement. Le but n'est pas seulement de critiquer un enseignement qui n'est pas toujours facile. Seulement, les mathématiques enseignées au lycée finissent par devenir des méthodes, ou des sortes de recettes, à appliquer sans comprendre pour résoudre un exercice donné. Pour Henri Poincaré,

La science a eu de merveilleuses applications, mais la science qui n'aurait en vue que les applications ne serait plus de la science, elle ne serait plus que de la cuisine.

L'application devient bien pauvre quand il s'agit de résoudre des exercices types. Mais il est très difficile de trouver de l'intérêt et une quelconque satisfaction à quelque chose que l'on ne comprend pas.

Certains élèves s'en sortent, et ont parfois de très bonnes notes, en apprenant par cœur ces méthodes, sans avoir réellement compris les notions fondamentales. D'autres ne voient pas l'intérêt d'apprendre un cours que l'on ne comprend pas et qui ne sert pas à résoudre les exercices. Ainsi, dans le cas de la dérivée, la définition utilisant le taux d'accroissement est rarement utilisée en exercice. La définition de la dérivée, qui permet de donner une approximation linéaire de la fonction au voisinage d'un point :

n'est jamais utilisée en terminale. La dérivée est utilisée pour l'étude des variations d'une fonction et devient des + et des - dans un tableau pour tracer des flèches. Des exercices peuvent être résolus (notamment, l'exercice de 10 points au bac sur les études de fonctions) en associant le + à une flèche ascendante et le - à une flèche descendante, sans avoir compris qu'une fonction croissante admet une dérivée dont le coefficient directeur est positif.

De plus, les mathématiques sont devenues un outil de sélection, parfois même pour des filières où les mathématiques ne seront pas importantes. Or, il est bien difficile de juger de la capacité ou de l'intelligence de quelqu'un qui résout un exercice ou qui réussit un examen à un jour précis.

Il est dommage que les cours ne montrent pas le réel intérêt des mathématiques. Pour William Paul Thurston :

L'intérêt de la réflexion et la formation d'un esprit Il y a une joie réelle à faire des mathématiques, à apprendre de nouvelles méthodes de pensée qui expliquent, organisent et simplifient. On peut ressentir cette joie en découvrant de nouvelles mathématiques, (…) ou en trouvant une nouvelle façon d’expliquer (…) une structure mathématique ancienne.

Henri Poincaré critiquait déjà l'abstraction des définitions données aux étudiants. Il vaut mieux parfois commencer par donner des définitions plus intuitives et approximatives qui permettront de montrer le cheminement des idées. Dans Science et Méthode :

Nos pères croyaient savoir ce que c'est qu'une fraction, ou que la continuité, ou que l'aire d'une surface courbe ; c'est nous qui nous sommes aperçu qu'ils ne le savaient pas. De même nos élèves croient le savoir quand ils commencent à étudier sérieusement les mathématiques. Si, sans autre préparation, je viens leur dire : Non, vous ne le savez pas ; ce que vous croyez comprendre, vous ne le comprenez pas ; il faut que je vous démontre ce qui vous semble évident, et si dans la démonstration je m'appuie sur des prémisses qui leur semblent moins évidentes que la conclusion, que penseront ces malheureux ? Ils penseront que la science mathématique n'est qu'un entassement arbitraire de subtilités inutiles ; ou bien ils s'en dégoûteront ; ou bien ils s'en amuseront comme d'un jeu et ils arriveront à un état d'esprit analogue à celui des sophistes grecs.

Il est aussi important de montrer l'intérêt et l'utilité des notions utilisées. Toujours dans Science et Méthode, Poincaré écrit:

Il y a une chose qui me frappe : c'est combien les jeunes gens qui ont reçu l'éducation secondaire sont éloignés d'appliquer au monde réel les lois mécaniques qu'on leur a enseignées. Ce n'est pas seulement qu'ils en sont incapables ; ils n'y pensent même pas. Pour eux le monde de la science et celui de la réalité sont séparés par une cloison étanche. Il n'est pas rare de voir un monsieur bien mis, probablement bachelier, assis dans une voiture en s'imaginant qu'il l'aide à avancer en poussant sur l'avant, et cela au mépris du principe de l'action et de la réaction.

Ce qui rend difficile de lire un cours de mathématiques est qu'il se présente de manière déductive. Il montre le produit fini tel qu'il apparaît après un long déroulement fait de tâtonnements, d'erreurs, totalement cachés de l'enseignement. Pour Gian Carlo Rota :

Nous entendons souvent dire que les mathématiques consistent à prouver des théorèmes. Le travail d'un écrivain serait-il d'écrire des phrases ? L'œuvre d'un mathématicien est surtout un enchevêtrement de conjectures, d'analogies, de souhaits et de frustrations ; la démonstration, loin d'être le noyau de la découverte, n'est souvent que le moyen de s'assurer que notre esprit ne nous joue pas des tours.

Celui qui s'exprime le mieux la-dessus est sans doute Alexandre Grothendieck qui s'exprime en détails sur de nombreux sujets à propos des mathématiques dans son autobiographie de presque 1000 pages intitulée Récoltes et Semailles :

La deuxième chose sur laquelle je sentais le besoin de m’exprimer, dans ma fameuse introduction personnelle et philosophique à un texte mathématique, c’était au sujet de la nature du travail créateur justement, Je m’étais rendu compte déjà, depuis des années, que cette nature était généralement ignorée, occultée par des clichés à tout venant et par des répressions et des peurs ancestrales. (...) cette partie créatrice entre toutes dont je viens de parler dans le travail de découverte, ne transparaît pratiquement nulle part dans les textes ou discours qui sont censés présenter un tel travail (ou du moins, ses fruits les plus tangibles) ; que ce soient des manuels et autres textes didactiques, ou les articles et mémoires originaux, ou les cours oraux et exposés de séminaires etc. Il y a, depuis des millénaires semblerait-il, depuis les origines même de la mathématique et des autres arts et sciences, une sorte de "conspiration du silence" autour de ces inavouables labeurs qui préludent à l’éclosion de toute idée nouvelle, grande ou petite, venant renouveler notre connaissance d’une portion de ce monde, en création perpétuelle, où nous vivons.
Pour tout dire, il semblerait que la répression de la connaissance de cet aspect-là ou de ce stade-là, le plus crucial de tous dans tout travail de découverte (et dans le travail créateur en général) ; soit à tel point efficace, à tel point intériorisé par ceux-là même qui pourtant connaissent un tel travail de première main, que souvent on jurerait que même ceux-là en ont éradiqué toute trace de leur souvenir conscient. Un peu comme dans une société puritaine à outrance, une femme aurait éradiqué de son souvenir, en relation à chacun de ces enfants qu’elle se fait un devoir de moucher et de torcher, le moment de l’étreinte (subie à contre-cœur) qui le fit concevoir, les longs mois de la grossesse (vécue comme une inconvenance), et les longues heures de l’accouchement (endurées comme un peu ragoûtant calvaire, suivi enfin d’une délivrance).

Dans le même chapitre, il parle même de dégradation du milieu mathématique :

L’aspect de cette dégradation auquel je pense surtout ici (qui en est juste un aspect parmi de nombreux autres) est le mépris tacite, quand ce n’est la dérision sans équivoque, à l’encontre de ce qui (en mathématique, en l’occurrence) ne s’apparente pas au pur travail du marteau sur l’enclume ou sur le burin - le mépris des processus créateurs les plus délicats (et souvent de moindre apparence) ; de tout ce qui est inspiration, rêve, vision (si puissantes et si fertiles  soient-elles), et même (à la limite) de toute idée, si clairement conçue et formulée soit-elle : de tout ce qui n’est écrit et publié noir sur blanc, sous forme d’énoncés purs et durs, répertoriables et répertoriés, mûrs pour les banques de données engouffrées dans les inépuisables mémoires de nos mégaordinateurs. Il y a eu (pour reprendre une expression de C.L. Siegel) un extraordinaire aplatissement, un rétrécissement de la pensée mathématique, dépouillée d’une dimension essentielle, de tout son versant d’ombre, du versant féminin. Il est vrai que par une tradition ancestrale, ce versant-là du travail de découverte restait dans une large mesure occultée, personne (autant dire) n’en parlait jamais - mais le contact vivant avec les sources profondes du rêve, qui alimentent les grandes visions et les grands desseins, n’avait jamais encore (à ma connaissance) été perdu. Il semblerait que dès à présent nous soyons déjà entrés dans une époque de dessèchement, où cette source est, non point tarie certes, mais eu l’accès à elle est condamné, par le verdict sans appel du mépris général et par les représailles de la dérision.
Nous voilà approcher du moment, semble-t-il, où sera éradiqué en chacun non seulement le souvenir de tout travail proche de la source, du travail au féminin (ridiculisé comme vaseux, mou, inconsistant -ou au bout opposé comme trivialités, enfantillages, bombinage ... ), mais où sera extirpé également ce travail même et ses fruits : celui où sont conçues, s’élaborent et naissent les notions et les visions nouvelles. Ce sera l’époque aussi où l’exercice de notre art sera réduit à d’arides et vaines exhibitions de poids et haltères cérébraux, aux surenchères des prouesses pour craquer les problèmes au concours (de difficulté proverbiale) - l’époque d’une hypertrophie surpermacho fiévreuse et stérile, prenant la suite de plus de trois siècles de renouvellement créateur.

Il cherchera alors à réaliser une rédaction où ce travail ne serait pas caché :

Il ne s’agirait plus pour moi, désormais, de présenter des fondations méticuleuses et à quatre épingles pour quelque nouvel univers mathématique en gésine. Ce seraient des carnets de bord plutôt, où le travail se poursuivrait au jour le jour, sans rien en cacher et tel qu’il se poursuit vraiment, avec ses ratés et ses foirages, ses insistants retours en arrière et aussi ses soudains bonds en avant - un travail tiré en avant irrésistiblement jour après jour (et nonobstant les incidents et imprévus innombrables), comme par un invisible fil - par quelque vision élusive, tenace et sûre. Un travail tâtonnant bien souvent, surtout en ces moments sensibles où affleure, à peine perceptible, quelque intuition sans nom encore et sans visage ; ou au départ de quelque nouveau voyage, à l’appel et à la poursuite de quelques premières idées et intuitions, élusives souvent et réticentes à se laisser saisir dans les mailles du langage, alors que c’est justement le langage adéquat pour les saisir avec délicatesse qui souvent fait encore défaut. C’est un tel langage, avant toute autre chose, qu’il s’agit alors de faire se condenser hors d’un apparent néant de brumes impalpables. Ce qui n’est encore que pressenti, avant d’être seulement entrevu et encore moins "vu" et touché du doigt, peu à peu se décante de l’impondérable, se dégage de son manteau d’ombre et de brumes pour prendre forme et chair et poids ...

L'enseignement a aussi pour but de former une capacité de réflexion, une indépendance de penser, une liberté de l'esprit, la formation d'un esprit critique. Selon Henri Poincaré :

La liberté est pour la Science ce que l'air est pour l'animal. La pensée ne doit jamais se soumettre, ni à un dogme, ni à un parti, ni à une passion, ni à un intérêt, ni à une idée préconçue, ni à quoi que ce soit, si ce n'est aux faits eux-mêmes, parce que, pour elle, se soumettre, ce serait cesser d'être.

Ce qui bien plus ambitieux que d'amener 80 % d'une classe d'âge au bac.

dimanche 25 septembre 2011

Équilibre économique

Un des premiers à étudier la notion d'équilibre est Jean-Baptiste Say qui le définit en 1803 lorsque l'offre est égale à la demande. Il affirme que l'offre crée sa propre demande et que par conséquent il ne peut y avoir de déséquilibre durable entre l'offre et la demande. Pour lui, l'économie de marché est capable de s'auto-réguler spontanément.

Thomas Malthus est le premier à contredire Say. Il pense que les capitalistes limitent leur consommation pour épargner, avec pour but plus tard d'investir. Comme les travailleurs ne perçoivent qu'une partie de ce qu'ils produisent ils limitent la demande et n'absorbe alors pas complètement l'offre. Il insiste ainsi sur le rôle de la demande en économie

Pour Léon Walras, dans Élément d'économie pure (1874), un équilibre est une situation telle que ni les consommateurs ni les producteurs n'ont intérêt à à modifier les quantités de biens et de service productifs demandés et offerts sur le marché. Selon lui, la libre concurrence permet d'obtenir la meilleure situation sociale : si chaque individu est dans la meilleure situation possible, il en sera de même pour la société. Pareto ne l'affirme pas. Étant donné qu'il n'existe aucun moyen de mesurer les gains des uns et les pertes des autres, il est impossible, selon Pareto, d'affirmer que la situation réalisée par la libre concurrence donne à l'ensemble des individus une quantité globale de satisfactions supérieures à celle qui résulterait de l'intervention de l'État.

Les gouvernements se demandent régulièrement comment prendre et justifier une décision qui soit conforme à un principe de justice sociale. Ce qui est considéré comme le mieux pour la majorité n'est pas forcément le meilleur pour tous. De plus, l'égalité sociale accorde une grande importance aux droits individuels. Le libéralisme classique, développé au cours du siècle des Lumières, plaide en faveur de certaines libertés individuelles face à une autorité gouvernementale.

À partir Adam Smith, les notions de bien-être et d'intérêt général deviennent importantes en économie. Il explique avec la notion de main invisible que chaque individu en recherchant son propre intérêt oeuvre pour l'intérêt général qui est la somme des intérêts particuliers.

Vilfredo Pareto succède à Léon Walras à la chaire d'économie politique de l'Université de Lausanne. Il reprend les théories de ce dernier et celles de Francis Edgeworth. Tjalling Koopmans sera un des premiers à employer la notion d'équilibre de Pareto en 1951.

Pareto est le premier à définir précisément la notion d'équilibre. Dans son Manuel d'économie politique (1909), il considère qu'il y a une amélioration sociale chaque fois que le bien-être de certains s'accroît et que celui de personne ne décroît. Aucun ne concède alors à une détérioration de sa situation. Certains appellent ce genre de modification une amélioration parétienne. Chaque individu ne cherche alors pas simplement à améliorer sa propre situation, mais il doit aussi savoir ce que provoque en contrepartie cette amélioration pour les autres individus.

Une situation est considérée comme un équilibre de Pareto s'il n'est plus possible d'augmenter la satisfaction d'un individu sans diminuer celle d'un autre.  Selon Pareto, l’optimum est le plus grand bien-être possible pour les individus de la collectivité. D'après Gerard Debreu (1966), un optimum est un état réalisable auquel n'est préféré aucun état réalisable.

John Rawls reprend d'une certaine manière ces idées pour sa conception de la justice. Pour lui, on peut accepter des inégalités, ou des actions collectives qui en produisent, si en contrepartie elles améliorent le sort de tous. Dans Une théorie de la justice en 1971, il explique que :

Les inégalités économiques et sociales, par exemple les inégalités de fortune et de pouvoir, ne sont justes que si elles se traduisent par des gains compensatoires pour tous, en particulier pour les membres les moins favorisés de la société. Un tel principe exclut de pouvoir justifier des institutions en se fondant sur le fait que les torts causés à certains sont compensés par un bienfait plus important en tout.

ou encore :

Toutes les valeurs de la société -la liberté et les opportunités, le revenu et la richesse, et les fondements de l'amour-propre - doivent être réparties de manière égale, à moins qu'une répartition inégale de l'une de ces valeurs ou de toutes soit à l'avantage de tous. L'injustice n'est dons pas autre chose que les inégalités qui ne profitent pas à tous.

dimanche 18 septembre 2011

De la décroissance et des dérivées ...

Comment calculer l'équation de la tangente en une courbe représentative d'une fonction f donnée ?

Sur cette figure, le seul point que l'on connaît est le point rouge, le point de tangence, qui est commun à la courbe et à la droite. Ce seul point sera utilisé pour déterminer l'équation de la droite tangente à la courbe.

Or, lorsqu'on cherche à calculer l'équation d'une droite, on commence usuellement par calculer son coefficient directeur (ou sa pente). Pour cela, deux points A et B appartenant à cette droite sont nécessaires, puisque le coefficient directeur est donné par l'expression :

si la droite passe par les points A et B de coordonnées respectives et . Le coefficient directeur se calcule ainsi par la différence des ordonnées y sur la différence des abscisses x, ce que l'on peut noter par :

Dans le cas de la tangente, il est impossible d'utiliser directement cette expression pour calculer le coefficient directeur, puisqu'on ne connaît qu'un seul point passant par la tangente : le point de la tangente qui touche la courbe. Le mot tangente vient d'ailleurs du tangere qui signifie toucher, puisqu'au voisinage du point de tangence, la droite ne touche la courbe qu'en ce point.

Pour définir rigoureusement le coefficient directeur de la tangente, la notion de limite est utilisée. Pour cela, on considère deux points appartenant à la courbe représentative de la fonction : le point de tangence A et un autre point B. Supposons alors que les coordonnées du point A soient :

(l'indice 0 est utilisé pour indiquer que ce point est fixé une fois pour toute, c'est-à-dire qu'il ne bougera pas au cours de la construction). De plus, on considère que le deuxième point B, appartenant à la fois à la courbe et à la sécante, est un peu plus loin du point A sur sa droite. Les coordonnées (x,y) de ce point B seront alors notées

h est un nombre réel positif. Le coefficient de la sécante à la courbe passant par ces deux points A et B est donc :

.

Lorsque le point B se rapproche peu à peu du point A, la sécante (AB) se rapproche de plus en plus de la tangente à la courbe au point A. Quand le point B finit par être confondu avec le point A, la sécante devient la tangente, qui ne coupe le droite qu'en un seul point, le point de tangence A. Le coefficient de cette dernière droite est bien le coefficient de la tangente au point A. C'est cette construction que l'on peut voir sur l'animation ci-dessous, qui provient de la page tangente de Wikipédia (comme la première figure de cet article représentant une courbe et une tangente) (merci en passant à la licence libre GNU).



Cette construction peut être décrite à l'aide de limite suivante :

qui correspond à la limite des coefficients directeurs de chaque sécante (AB) lorsque le point B se rapproche de A ou quand h tend vers 0. Autant de choses dans cette formule si concise et tellement incompréhensible quand elle est vue pour la première fois en première ou en terminale!

Le rapport est la plupart du temps appelé taux d'accroissement. Pourtant, si la fonction f est décroissante au voisinage de A comme c'est le cas sur l'animation, ce taux va décroître au fur et à mesure que B s'approche de A et serait un "taux de décroissance" (comme celui des économies européennes et américaine). Il serait donc plus juste de l'appeler taux de variation.

En calculant cette limite, on obtient le coefficient directeur de la tangente au point A de coordonnées . Ainsi, dans la cas de la fonction , on aura :

En faisant tendre h vers 0 dans cette dernière expression, la dérivée de la fonction est 2x.

La longueur de cet article montre que la notion de dérivée n'est pas une notion simple, qui souvent n'est pas complètement comprise en terminale. Bien souvent, il faut attendre le niveau universitaire pour la maîtriser réellement. À cela, plusieurs raisons. La première, la plus évidente, est que la dérivée est une notion difficile. Seulement, dans les livres de terminale, les explications sur les dérivées sont rarement aussi détaillées. Si elles ne sont pas exposées clairement, comment un élève de terminale les comprendra-t-il par lui-même (surtout pour des notions aussi difficiles) ? On peut difficilement demander aux élèves de retrouver par eux-mêmes des notions, qui ont nécessité parfois des siècles pour être exposées correctement ; bien que l'idée dans ce cas soit de donner, par bonne intention, plus d'autonomie aux élèves. (Sur l'autonomie des élèves, on peut aussi s'étonner que quand un élève propose pour résoudre un exercice une méthode différente que celle vue en cours, il n'a parfois pas les points ; il faut dire qu'un pédagogue n'est jamais à une contradictions près). D'autre part, l'année de terminale passant vite, il est difficile à un professeur d'expliquer, par manque de temps, autant qu'il ou que les élèves le souhaiteraient (surtout que chacun d'entre-eux comprendra à son propre rythme et il est impossible de donner des explications différentes pour chacun).  De plus, la plupart du temps, les objectifs d'un chapitre ne sont pas explicités, car là encore on espère que l'élève les trouvera de lui-même. Les bons élèves sont souvent ceux qui comprennent ce qu'on attend d'eux et qui ont bien intégré les règles du système scolaire. Enfin, certains professeurs de mathématiques ne font pas un cours trop clair, car si celui-ci apparaît trop facile, il donne l'impression à l'élève qu'il a tout compris en cours et n'a pas besoin de réviser chez lui. On a l'habitude de dire, peut-être plus pour les études supérieures que pour le secondaire, qu'il faut à un moment donné larguer l'étudiant pour montrer que le sujet traité est difficile et qu'il doit travailler pour comprendre. Les livres de Stella Baruk sur l'enseignement des mathématiques, comme par exemple Échec et maths, sont à lire sur ce sujet. Elle montre que faute de compréhension les élèves en viennent à réciter par cœur un cours et des méthodes qu'ils ne comprennent pas et deviennent alors ce qu'elle appelle des "automaths". Pour des élèves qui n'y comprennent rien, les maths auront peu d'intérêt. Seulement, quand je ne comprends pas un sujet, I can get no satisfaction ... 'Cause I try!

jeudi 15 septembre 2011

Surveiller et punir

Dans Surveiller et punir (sous-titré Naissance de la prison), Michel Foucault analyse l'évolution de la punition des crimes du 18 ème au 19 ème siècle.

Ce livre, publié en 1975, s'ouvre sur la description du supplice de Robert François Damiens qui tenta d'assassiner Louis XV en 1757. L'exécution de la sentence fut particulièrement pénible. Pendant l'écartèlement, les chevaux n'arrivant pas à lui arracher les membres, les bras et les cuisses de la victime ont été démembrés en lui coupant les nerfs et en lui hachant leurs jointures. Ni faisant toujours rien, le bourreau commença à couper les cuisses et les bras ; les chevaux réussirent alors à emporter les membres. Quand bien même certains doutaient qu'il fut mort, le tronc et le restant du corps de Damiens furent jetés au feu. Le tout mit quatre heures à brûler.

Une symétrie a lieu entre le crime et le châtiment d'un criminel : la langue est percée pour ceux qui ont blasphémé, les empoisonneurs sont aspergés de poisons, les meurtriers sont tués à leur tour, Damiens tenait dans sa main droite le couteau avec lequel il avait voulu tuer le roi et cette main fut brûlée avec du souffre.

Avant et sous l'Ancien Régime, la personne du souverain représente la loi, qui est sa volonté. Commettre un crime revient à faire offense au roi qui répond en manifestant sa toute-puissance. Le châtiment n'est donc pas une réparation du crime commis, mais il représente une sanction de l'autorité royale face à quelqu'un qui s'y est opposé.

Avec le matérialisme dialectique, Karl Marx a explicité le corps comme force de travail et montré les rapports de pouvoir et de domination qui s'y jouent. Par une démarche structuraliste, que l'on peut voir dans la continuité, Foucault explique que les méthodes punitives dépendent de la vision du corps que s'en fait l'autorité :

Il y a eu, au cours de l'âge classique, toute une redécouverte du corps comme objet de pourvoir.

À une époque donnée, le pouvoir politique, législatif, judiciaire et pénal établissent une peine du condamné jugée approprié par cette vision qu'ils se font du corps.

La sentence des condamnés va au cours de l'histoire évoluer vers une privation de liberté. La dénonciation de la barbarie des exécutions intervient, mais plusieurs autres explications, souvent plus importantes, entrent en jeu. Face à l'horreur des peines publiques, le peuple se rallie de plus en plus souvent à celui qui subit les tortures et le pouvoir craint des insurrections populaires pendant les exécutions. L'évolution de la police modifie la criminalité : de masse sur les personnes, elle passe de marge sur les biens (ce qui semble le contraire aujourd'hui : avec l'amélioration de moyens de surveillance, certains vols sont en baisse et la criminalité sur les personnes est en augmentation). Avec la démocratie, par un renversement de vocabulaire, le peuple devient souverain et la justice est désormais rendue en son nom. Les peines sont individualisées dans le but de dissuader et de corriger. Ainsi, l'abbé Gabriel Bonnot de Mably demande dans De la législation en 1776 que le châtiment frappe l'âme plutôt que le corps. Les méthodes de surveillance dans les écoles, les pensionnats, les casernes, les ateliers et même les hôpitaux se développent et ces techniques disciplinaires sont importées dans l'univers carcéral. La pénalité moderne se rend plus réadaptative que punitive.

On peut regretter que Foucault ne donne pas vraiment de solutions pour améliorer les prisons ou proposer d'autres méthodes pénales. Il s'étonne souvent au cours du livre de la rapidité avec laquelle s'est développé l'enfermement comme réponse quasi-unique à la criminalité, alors que les déficiences de la prison ont été reconnues assez tôt : elle ne diminue pas le taux de criminalité et provoque le récidive. Seulement, on ne voit pas ce qu'il propose concrètement à la place.

La dernière partie est plus idéologique et n'est pas autant référencée historiquement que le restant du livre. Le rôle de la prison représenterait une gestion politique de l'illégalité. Son rôle serait de substituer à un illégalisme sauvage une délinquance inoffensive. Le pouvoir tirerait alors des bénéfices d'une délinquance apprivoisée et marginalisée qu'il exploite et qu'il peut contrôler. Un assujettissement des délinquants serait créé, qui ne supprimeraient pas les infractions, mais qui plutôt les distingueraient et les utiliseraient.

À une époque où les conditions détentions en France, avec entre autre une surpopulation carcérale, sont souvent pointées du doigt, Surveiller et punir offre un bilan historique de la punition des crimes et qui peut être utile pour faire le point dans ce domaine. L'auteur explique que son livre doit servir d'arrière-plan historique à diverses études sur le pouvoir de normalisation et la formation du savoir dans la société moderne. En ce sens, il permet d'amorcer la réflexion et représente une promesse d'amélioration. Pour Paul Ricœur

La promesse n’est pas un acte ponctuel. Elle a son histoire. Et si on peut la considérer comme du futur, c’est quelle est en même la reconquête d’une dimension du passé. La promesse n’est pas seulement au futur, elle était le futur du passé. C’est le futur antérieur.

Ce qui signifie que les générations futures reçoivent en héritage une promesse qui demande d'étudier ce qui a été fait par le passé pour le réutiliser aujourd'hui. Ce qui pourrait aussi permettre peut-être de rehausser le débat face aux propositions de l'actuelle majorité.

mercredi 27 juillet 2011

Calcul infinitésimal

Le calcul infinitésimal a pour origine des notions, comme les fonctions continues ou les limites, qui étaient intuitives depuis les grecs et qui seront définies plus tard au XIX ème siècle.

La vitesse moyenne d'un mobile sur un intervalle de temps se calcule par :

Pour définir la vitesse en un instant t précis, la vitesse instantanée, on devra calculer le rapport :

quand devient de plus en plus petit, qui est donc la limite du rapport quand tend vers 0.  À cause du quotient égal à 0, les grecs ne savaient pas calculer cette limite.

Les études sur ces problèmes infinitésimaux se sont surtout développées au XVII ème siècle pour résoudre des problèmes liés à la mécanique.

Newton donne différentes explications du calcul infinitésimal. Dans Philosophia naturalis principia mathematica, publié en 1687, il utilise des quantités infiniment petites, qu'il appelle moments. Trouvant ces quantités insufisament rigoureuses, il cherche à mieux les définir dans Méthodes des fluxions et des suites infinies, terminé en 1671, publié à titre posthume en 1736. Il appelle fluxions les vitesses des quantités dépendant du temps et fluentes les quantités qui évoluent en fonction du temps :

J'appellerai quantités fluentes, ou simplement fluentes, ces quantités que je considère comme augmentées graduellement, et indéfiniment, je les représenterai par le dernières lettres de l'alphabet : v, x, y et z  et je représenterai par les mêmes lettres surmontées d'un point , , , les vitesses dont les fluentes sont augmentées par le mouvement qui les produit et que par conséquent on peut appeler fluxions.

Il énonce ensuite les problèmes du calcul infinitésimal :

Étant donné les relations entre des quantités fluentes, trouver la relation de leurs fluxions. Et inversement.

Pour trouver les fluentes, il note o un intervalle de temps infiniment petit, l'accroissement infiniment petit de x et l'accroissement infiniment petit de y. Pour trouver une relation entre et , il remplace dans la variable x par et y par , on obtient donc :

.

En utilisant le formule du binôme de Newton, on obtient :

Pour qu'il ne reste plus que , il retranche par et divise par o pour obtenir :

Enfin, il néglige les termes contenant o, c'est-à-dire les termes, comme , considérés comme indéfiniment petits pour tout entier n et pour tout réel x.

On a alors la propriété suivante : si o est indéfiniment petit, n o est lui aussi indéfiniment petit pour tout entier n. Or, dans , si a < b, il existe tel que nb > a. On dit alors que est un corps archimédien. Ainsi, en ajoutant à , les indéfiniment petits, le corps obtenu n'est plus archimédien, car si 0 < o < 1, alors pour tout , 0 < n o < 1, c'est-à-dire que n o reste un indéfiniment petit pour tout entier n. Les indéfiniment petits ne constituent donc pas un corps archimidien et ils possèdent des propriétés différentes de celles des nombres réels.

Dans Tractatus de quadratura curvarum écrit en 1674 et publié en 1704, Newton préfère écrire les rapports de la variation de x à celle de y. Avec le raisonnement similaire au précédent, il trouve :

qui est le rapport entre deux fluxions, qu'il appelle la dernière raison des variations évanouissantes et qui correspond à une limite.

Pour étudier le calcul infinitésimal, Leibniz étudie dans sa thèse en 1666 De arte combinatoria la suite des carrés et ses différences :

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36
  1, 3, 5, 7, 9, 11
   2, 2, 2, 2, 2

Il remarque que la somme des premières différences est égale au dernier terme de la suite au carré : ainsi, , , . En notant, l la différence entre deux valeurs voisines de la fonction, on a la relation : . Il utilise bientôt la notation dy à la place de l et le symbole qui est le s de summa allongée. La relation devient alors :

Deux écoles vont se suivre : l'école anglaise et l'école continentale. La première avec Berkeley, Maclaurin, Taylor cherchent à clarifier les éléments infinitésimaux. La deuxième, dont Euler fait partie, cherche à lier le calcul différentiel à l'idée de fonction, car Leibniz rattache les bases du calcul différentiel à la géométrie des courbes et il parla pour la première fois de fonction en 1673 dans la Méthode inverse des tangentes ou à propos des fonctions. Pour Jacques Hadamard :

L'être mathématique, en un mot, ne fut plus le nombre : ce fut la loi de la variation, la fonction. La mathématique n'était pas seulement enrichie de nouvelles méthodes, elle était transformée dans son objet.

Après une correspondance entre Leibniz et Jean Bernoulli, celui-ci donne en 1718 la définition précise de fonction :

On appelle fonction d'une grandeur variable une quantité composée, de quelque manière que ce soit, de cette grandeur variable et de constantes.

Euler considère le calcul infinitésimal comme une extension de l'algèbre : aux opérations connues, deux nouvelles opérations sont ajoutées : la différentiation et l'intégration. Il cherche à affranchir le calcul infinitésimal de la géométrie.

Jean Le Rond d'Alembert comprend qu'il faut donner fonder le calcul différentiel sur la notion de limite. En tant que rédacteur scientifique de l'Encyclopédie dans l'article limite, il écrit que  la notion de limite est la vraie métaphysique du calcul différentiel. Il s'efforce alors de donner une idée rigoureuse de la notion de limite, mais il ne réussit pas à le faire de façon cohérente.

Il faudra attendre le XIX ème siècle pour élucider le concept de limite qui sera défini par Augustin Louis Cauchy dans son cours d'analyse à l'école polytechnique en 1821 :

Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s'approche indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres.

Il peut ensuite définir rigoureusement la notion d'infiniment petit :

On dit qu'une quantité variable devient infiniment petite lorsque sa valeur numérique décroît indéfiniment de manière à converger vers la limite zéro.

L'histoire du calcul différentiel montre toute la difficulté de définir précisément des notions mathématiques ; ce qui peut prendre énormément de temps. Les limites seront définies plus d'un siècle après Newton, qui ne pouvait donner toutes les définitions à cause de barrières épistémologiques.

lundi 4 juillet 2011

Dieu qu'ils étaient lourds !...

Dans cette pièce au Lucernaire conçue et mise en scène par Ludovic Longelin, Louis-Ferdinand Céline, joué par Marc-Henri Lamande, répond aux questions d'un journaliste sur tous les sujets : ses origines, le style, le travail d'écrivain, l'antisémitisme, le pacifisme, la guerre, le mépris de l'espèce humaine ...

Marc-Henri Lamande est tout simplement impressionnant. Il  réussit à incarner parfaitement Céline jusqu'au ton même de sa voix et de ses tiques de langage : hein! , n'est-ce pas? ... L'acteur arrive même  à être émouvant : principalement à la fin de la pièce quand il parle de sa mort.

Cette pièce retranscrit des interviews de Céline lorsqu'il est reçu par Pierre Dumayet pour son livre D'un château l'autre, lorsqu'il reçoit chez lui à Meudon, ou encore d'extraits d'Entretiens avec le Professeur Y :

... j'ai pas d'idées moi ! aucune ! et je trouve rien de plus vulgaire, de plus commun, de plus dégoûtant que les idées ! les bibliothèques en sont pleines ! et les terrasses de café !... tous les impuissants regorgent d'idées !... et les philosophes !... c'est leur industrie les idées !... ils esbroufent la jeunesse avec ! ils la maquereautent !... la jeunesse est prête vous le savez à avaler n'importe quoi... à trouver tout : formidââââble ! s'ils l'ont commode donc les maquereaux ! le temps passionné de la jeunesse passe à bander et à se gargariser d'idéass !... de philosophies, pour mieux dire !... oui, de philosophes, Monsieur !... la jeunesse aime l'imposture comme les jeunes chiens aiment les bouts de bois, soi-disant os, qu'on leur balance, qu'ils courent après ! ils se précipitent, ils aboient, ils perdent leur temps, c'est le principal !... aussi, voyez tous les farceurs pas arrêter de faire joujou avec la jeunesse !... et si elle biche !... qu'elles est reconnaissante !... ils savent ce qu'il lui faut, les maquereaux ! des idéâs ! des synthèses ! et des mutations cérébrales !... au porto, toujours ! logistique ! formidââââble !... plus c'est creux, plus la jeunesse avale tout ! bouffe tout ! tout ce qu'elle trouve dans les bouts de bois creux ... idéââs !... joujoux !...

Le titre de la pièce Dieu qu'ils étaient lourds est expliqué à la fin de cette interview où explique qu'elles seraient ses dernières paroles :

Je dirais qu'il sont lourds et ... leur esprit est lourd !... C'est ça qu'il me semble surtout ... Il n'a jamais cessé d'être lourd. J'ai remarqué, j'ai lu ... tellement de vers, et particulièrement des vers du XVIII ème, des vers soi-disant galants. J'en ai trouvé 3, 4 de bon, sur des milliers, n'est-ce pas ?... Il y a très peu de légèreté chez l'homme. Il est lourd, n'est-ce pas ?... Et alors, maintenant, il est extraordinaire de lourdeur ... depuis le loto, l'alcool, l'ambition, la politique, le rendent lourd, encore plus lourd ... Il est extrêmement lourd ... Nous verrons peut-être un jour une révolte de l'esprit contre ... contre le poids, n'est-ce pas ?... Mais c'est pas pour demain !... Pour le moment, on est lourd ... Alors, bon ... je veux dire, en effet ... si j'avais à  mourir, j'ai dit : il était lourd, voilà c'est tout ... Oh !... ils étaient méchants ... c'est un ... parce qu'ils étaient lourds, n'est-ce pas ?... ils étaient lourds ... alors ils étaient lourds ... jaloux d'une certaine légèreté ... Ils sont jaloux ...  comme ...  jaloux ... une femme qui porte un coutil, n'est-ce pas ?... comme celle vêtue de dentelles ... comme celui qui à un percheron contre un pur-sang, euh ... jaloux d'être lourds ... c'est tout ... infirmes ... Ils pèsent ... ils sont infirmes !... n'est-ce pas?... La lourdeur les rend infirmes. Par conséquent, on peut se méfier d'eux ... Ils ... Ils sont prêts à tout ... Oh, oui !... prêts à tout... Ils sont prêts à tout ... Et pour activer encore la lourdeur, ils boivent, n'est-ce pas ?... Alors quand ils boivent, ils ... C'est des marteaux-pilons ... C'est effrayant, n'est-ce pas ?.... Et des marteaux-pilons sans contrôle. Oui, ... c'est surtout ça qu'ils ont ... Ils activent ... ils augmentent leur poids. Au lieu de se rendre légers ... Alors ils sont pas du côté d'Ariel ... Ils sont de plus en plus Caliban. De plus en plus ...

Marc-Henri Lamande est si saisissant dans le rôle de Céline qu'il faudra aller voir ses prochaines pièces : Le colonel suspicieux (qui est un khatchkar) de Marc Roques du 30 septembre au 2 octobre 2011 et La chair de l'homme de Valère Novarina du 24 au 28 septembre 2010, toutes deux au Colombier à Bagnolet.

dimanche 17 avril 2011

L'insoutenable admiration pour l'auteur

S'il n'a pas encore reçu le prix Nobel, Milan Kundera aura l'honneur d'être publié à La Pléiade de son vivant, comme Gide, Malraux, Martin du Gard, Montherland, Gracq, Ionesco, Sarraute, Borges, Sartre. Sortis en mars 2011, les deux volumes s'intitulent Oeuvre, au singulier, pour en souligner toute l'unité. Ils ne contiennent ni notes explicatives, ni les textes jugés secondaires, comme ceux de jeunesse (ainsi son premier livre, l'Homme, ce vaste jardin, publié en 53, qui est un recueil de poèmes), ni les textes de commande, articles ou préfaces, car selon Kundera, publier ce que l’auteur a supprimé est le même acte de viol que censurer ce qu’il a décidé de garder. Kundera exerce un contrôle sur ses écrits, où l'oeuvre est préférée à sa personne, tout comme il contrôle sa parole, puisque depuis 85, il n'accorde plus d'entretiens, mais accepte de répondre par écrit. Le romancier, explique-t-il, est celui qui, selon Flaubert, veut disparaître derrière son œuvre. Il doit donc renoncer au rôle de personnalité publique. En se prêtant à ce rôle, il met en danger son oeuvre, qui risque d'être considérée comme un simple appendice de ses gestes, de ses déclarations, de ses prises de position.

Publié en 1984, L'insoutenable  légèreté de l'être reste le roman de Kundera le plus explicatif, celui par lequel on peut commencer pour comprendre son ton singulier et ironique. L'auteur intercale ses remarques, comme des commentaires intelligents, moins présents dans d'autres romans. Il y reprend ses thèmes importants : la légèreté, le kitsch, le hasard, le sérieux et le non-sérieux. Dans la sixième partie du roman, Kundera donne une vision originale du kitsch, voile qui défigure la réalité et qui intervient dans différents domaines : les parades des États totalitaires, qui sont un folklore masquant la réalité plus sombre de la violence et de la répression ; le kitsch sentimental créant une image lyrique et idyllique d'une réalité bien plus nuancée ; le kitsch politique avec sa vision idéologique ou le kitsch des bons sentiments humanitaires, qui sont rarement désintéressés.

Son premier roman, La plaisanterie, est publié en 1967. Le personnage principal Ludvik est renvoyé de l'université et enrôlé de force dans l'armée pour avoir envoyé à son amie, lors d'un stage du parti pendant les vacances, une carte postale, sur laquelle il inscrit une phrase au second degré vantant Trotski. Avec ce roman, Kundera montre qu'il est impossible de rire à propos des idéologies, des régimes politiques totalitaires ou des religions, qui ne reconnaissent pas le non-sérieux.

 Entre 1959 et 1968, Kundéra écrits sept nouvelles regroupées dans Risibles amours publié en1968. Certaines ont donc été écrites avant La plaisanterie. C'est avec la première nouvelle, Personne ne va rire, que Kundera trouve son style :

Jusqu'à l'âge de trente ans, j'ai écrit plusieurs choses : de la musique, surtout, mais aussi de la poésie et même une pièce de théâtre. Je travaillais dans plusieurs directions différentes - cherchant ma voix, mon style et me cherchant moi-même. Avec le premier récit de Risibles amours (je l'ai écrit en 1959), j'ai eu la certitude de "m'être trouvé". Je suis devenu prosateur, romancier, et je ne suis rien d'autre.

Avec La vie est ailleurs, Kundera reçoit le prix Médicis étranger en 1973 et lui fait dire : Je suis un bizarre auteur français de langue tchèque. Le titre fait référence à Rimbaud. Dans ce roman, le poète Jaromil, montre que la jeunesse est l'âge lyrique avec toutes ses illusions.

Dans les années 70 après La valse aux adieux, Kundera pense ne plus écrire. Un an après son installation en France, il réussit à reprendre l'écriture avec des nouvelles en pensant écrire une suite de Risibles amours. Ce sera Le livre du rire et de l'oubli qui sera quelque chose de tout différent : non pas un recueil de nouvelles mais un roman, un roman en sept parties indépendantes mais à tel point unies que chacune d'elles, lue isolément, perdrait une grande partie de bon sens.

Romancier, il réfléchit aussi à la spécificité et aux possibilités du roman dans des essais tous écrits en français : L'art du roman (1986), Les testaments trahis (1993), Le rideau (2005), Une rencontre (2009).

À partir de 1995, avec La lenteur, Kundera écrit en français. Paraîtront ensuite L'identité en 1998 et L'ignorance en 2003. Les livres écrits en français sont de format court, avec une structure développée autour d'un même thème, et une articulation en petits chapitres. L'auteur explique passer de la sonate (grande composition à plusieurs mouvement qui contrastent) à la fugue, plus brève, mais polyphonique, superposant les variations sur un même thème.

À quand le prix Nobel de litérature pour Kundera ?

mardi 15 février 2011

Un livre unique : Voyage au bout de la nuit

Le ministre de la culture a exclu des célébrations 2011 l'anniversaire de la mort de Louis-Ferdinand Céline en 1961. L'Association des fils et filles de déportés juifs de France (FFDJF), présidée par Serge Klarsfeld, s'est ainsi indignée du fait que l'on célèbre le cinquantenaire de la mort de Céline qui est aussi l'auteur de pamphlets jugés antisémites (Bagatelles pour un massacre, l'École des cadavres, Les beaux draps) qui ne sont pas réédités. L'association a demandé le retrait immédiat de ce recueil (des célébrations nationales 2011) et la suppression dans celui qui le remplacera des pages consacrées à Céline. Le communiqué explique que: À ceux qui s'offusqueraient de cette exigence, nous répondons qu'il faut attendre des siècles pour que l'on célèbre en même temps les victimes et les bourreaux. Frédéric Vitoux, de l'Académie française et auteur d'une biographie sur Céline, répond à cette polémique: C'est le mot “célébrations” qui est ambigu. Il ne s'agit pas de tresser des lauriers à l'écrivain. Le cinquantenaire de sa mort est une occasion de s'intéresser à son œuvre, d'examiner à nouveau ses zones d'ombre. On ne peut tout de même pas nier que c'est l'un des plus grands écrivains français. Si aujourd'hui la confusion entre la vie privée et la vie publique est de plus en plus courante, il s'agit cependant de distinguer l'auteur de ses prises de positions politiques.

Le Voyage au bout de la nuit reste un livre unique. Son style cru permet de décrire sans distance les horreurs de la guerre et de pouvoir mieux les dénoncer :

Donc pas d'erreur ? Ce qu'on faisait à se tirer dessus, comme ça, sans même se voir, n'était pas défendu ! Cela faisait partie des choses qu'on peut faire sans mériter une bonne engueulade. C'était même reconnu, encouragé sans doute par les gens sérieux, comme le tirage au sort, les fiançailles, la chasse à courre !... Rien à dire. Je venais de découvrir d'un coup la guerre toute entière. J'étais dépucelé. Faut être à peu près seul devant elle comme je l'étais à ce moment-là pour bien voir la vache, en face et de profil. On venait d'allumer la guerre entre nous et ceux d'en face, et à présent ça brûlait ! Comme le courant entre deux charbons, dans la lampe à arc. Et il n'était pas près de s'éteindre le charbon ! On y passerait tous, le colonel comme les autres, tout mariole qu'il semblait être et sa carne ne ferait pas plus de rôti  que la mienne quand le courant d'en face lui passerait entre les deux épaules.

Les descriptions les plus belles et captivantes sont celles de New-York, la ville verticale :

Figurez-vous qu'elle était debout leur ville, absolument droite. New-York c'est une ville debout. On en avait déjà vu des villes bien sûr, et des belles encore, et des ports et de fameux même. Mais chez nous, n'est-ce pas, elles sont couchées les villes, au bord de la mer ou sur les fleuves, elles s'allongent sur le paysage, elles attendent le voyageur, tandis que celle-là l'Américaine, elle ne se pâmait pas, non, elle se tenait bien raide, là, pas baisante du tout, raide à faire peur.

Il décrit une série de voyage dans la nuit, la noirceur, la laideur : Il y a un moment où on est tout seul quand on est arrivé au bout de tout ce qui peut vous arriver. C'est le bout du monde.
 
Certains critiques, choqués par le style de Céline, ont parlé d'immondices, de dégoût, de vulgarité gratuite, de nihilisme total, de cynisme, ... Il a subi les pires critiques, injustes :

Le voyage au bout de la nuit, de Céline, 622 pages petit texte, où un carabin parle constamment comme un plombier, appartient tout à fait au genre roman poubelle ! À la chaudière, à la chaudière, à la chaudière ! Tout y passe, d'abord les souvenirs de guerre, ce qu'il y a de mieux dans ce livre, puis des souvenirs de femmes, puis des voyages imaginaires, souvenirs de cinéma, puis des morceaux surréalistes, etc., tout cela d'un esprit plus démagogique que populaire. Et pourtant M. Céline a du talent, et, dans ses meilleures pages, on entend comme un lointain écho d'Octave Mirbeau. Mais il a cru au roman poubelle. (Eugène Montfort, 1932)

Moins de critiques élogieuses, mais elles existent :

C'est là du populisme à vif, une nouvelle mystique communiste, le soliloque d'un réfractaire qui a tout vu, tout entendu, et qui, parce qu'il a tout compris, a tout absous ... On lui reproche son style, ce style bâtard de lettré et de gouape. Bah ! qu'importe la forme d'un style qui accroche de cette manière unique, dont l'accent est si profond, si poignant qu'il flanque instantanément à bas la littérature et ses procédés, pour hisser, au pavois, triomphalement - misérable et haute, fangeuse et pure, accablée de toute les hideurs, éclairées de toutes les beauté - la Vie. Du premier coup, Louis-Ferdinand Céline s'est classé hors cadre et a imposé un livre énorme. Saluons bas !

Au bout de quelques pages du Voyage au bout de la nuit, on est impressionné par le rythme et la musicalité qui se dégagent de ce style si original. On a envie de lire à haute voix pour mieux l'entendre. C'est la parole transposée dans l'écrit. Ce qui explique la fascination qu'il provoque chez les acteurs, tel Fabrice Luchini qui le récite par coeur.

jeudi 11 mars 2010

Je ne peux pas écrire "Je ne peux pas écrire"

Cette phrase autoréférente est contradictoire. Willard Quine propose une phrase de ce genre : "Yields falsehood when preceded by its quotation" yields falsehood when preceded by its quotation ("Est fausse lorsque précédée par sa propre citation" est fausse lorsque précédée par sa propre citation). Dans Diagonalization and Self-Reference, Raymond Smullyan appelle l'expression x "x" la norme de x. La phrase du titre correspond donc à la norme de "Je ne peux pas écrire".

Regardons l'énoncé :

Je ne peux pas écrire la norme de "Je ne peux pas écrire la norme de".   (1)

Cette phrase possède une propriété importante : son interprétation est identique à son écriture. La phrase du titre affirme que je ne peux pas écrire une partie d'elle-même, tandis que la phrase (1) affirme que je ne peux pas écrire la phrase (1) elle-même. De manière similaire, il existe en informatique des programmes dont la sortie est identique à leur code source : ces programmes sont appelés des quines en hommage au philosophe.

Ce genre de phrase utilise le même procédé que celui utilisé par Gödel pour démontrer le premier théorème d'incomplétude : la diagonalisation. La diagonalisation d'une application f en x consiste à appliquer f à la représentation de f(x). Notons #x la représentation de x : dans le cas de la démonstration de Gödel, #x correspond au nombre de Gödel associé à x ; dans le cas d'un programme informatique, c'est le code source de x ; dans le cas des phrases précédentes, c'est "x". La diagonalisation de f en x est donc : D(f(x)) = f(#f(x)).

Si l'on considère la phrase suivante :

Vous ne lisez pas la diagonalisation de x.   (2)

Sa diagonalisation est la phrase :

Vous ne lisez pas la diagonalisation de "Vous ne lisez pas la diagonalisation de".   (3)

La diagonalisation de la phrase (2) est la phrase (3). La phrase (3) affirme que vous ne lisez pas la phrase (3) elle-même. Ne la lisez donc pas!

Dans la démonstration du théorème de Gödel, l'application considérée est : x est fixé et qui signifie que la formule y n'est pas une démonstration de la formule x.

La diagonalisation de en y donne :
.

Cette dernière assertion affirme d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable.

La diagonalisation permet de construire des énoncés indécidables. Dans le cas d'un système formel où tout est démontré, seules des assertions vraies peuvent être déduites. Aboutir à ce genre d'énoncés conduit à des paradoxes.

Pour se rapprocher du cadre des systèmes formels, il suffit de supposer que je n'écris que des choses justes. Dans ce cas, écrire Je ne peux pas écrire la norme de "Je ne peux pas écrire la norme de" serait impossible. Dans le cas contraire, si je ne l'écris pas, il y aurait des choses justes que je suis incapable d'écrire. L'analogie avec les systèmes formels voudrait dire qu'il existe des propositions vraies qui sont indémontables. Par conséquent, écrire cet énoncé signifie qu'on ne peut pas l'écrire et inversement ne pas l'écrire entraîne qu'on devrait pouvoir le faire.

Que conclure alors de tels énoncés? Si on accepte le principe du tiers exclu toute proposition est soit vraie, soit fausse. En aucun cas, il ne pourrait y avoir de troisième possibilité (ça n'est jamais à moitié juste). Nous sommes alors incapables de décider de la véracité de ses phrases autoréférentes : elles sont indécidables.

Les intuitionnistes avec Luitzen Brouwer remettent en cause le principe du tiers exclu pour ne pas accepter le raisonnement par l'absurde. Dans ce genre de raisonnement, pour démontrer qu'un énoncé est vrai, on démontre que sa contraposé ne peut pas l'être. Ce qui revient à supprimer une double négation. En logique classique, on a l'égalité : non-P est faux est identique à P est vrai. Les intuitionnistes quant à eux refusent d'éliminer cette double négation. Dans cette nouvelle logique, l'implication est acceptée, mais pas la réciproque. Pour un intuitionniste, un énoncé est vrai lorsqu'on peut le démontrer. Avec cette interprétation, l'implication précédente signifie que si P est démontrable alors il est impossible de démontrer qu'il n'y a pas de démonstration de P. Mais affirmer il n'y pas de démonstration que P est faux n'est pas suffisant pour conclure que P est vrai.

Pour David Hilbert, priver le mathématicien du principe du tiers exclu reviendrait à enlever son télescope à l'astronome, son poing au boxeur. Seulement si les intuitionnistes ne l'utilisent pas, c'est pour n'accepter que les démonstrations constructives. Ils éliminent ces démonstrations qui affirment qu'un objet existe sans jamais nous le montrer.

mercredi 24 février 2010

Théorèmes de Gödel

En 1787, dans Critique de la raison pure, Immanuel Kant affirmait que la logique formelle n'a pas pu faire un seul pas en avant, et qu'ainsi, selon toute apparence, elle semble close et achevée. Malgré tout, Gottlob Frege fait faire des progrès à la logique en introduisant le calcul des prédicats et avec Grundgesetze der Arithmetik (fondements de l'arithmétique), il tente de dériver l'arithmétique de la logique. Mais en 1902, Bertrand Russell montre que le système formel de Frege était incohérent. On pensait alors qu'un système formel pourrait être complété en ajoutant un nombre fini d'axiomes pour le rendre complet. En 1931, Kurt Gödel met fin à cet espoir en effectuant la démonstration des deux théorèmes d'incomplétude. Comme le fait remarquer Douglas Hofstadter dans Gödel Escher Bach : Les Brins d'une guirlande éternelle, la version originale était en allemand, et vous trouverez peut-être que vous auriez tout aussi bien compris en allemand. L'article de Gödel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés, traduit en anglais par On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems) commence par :

Le développement des mathématiques vers plus d'exactitude a conduit, comme nous le savons, à en formaliser de larges secteurs, de telle sorte que la démonstration puisse s'y effectuer uniquement au moyen de quelques règles mécaniques. Les systèmes formels les plus complets établis jusqu'à ce jour sont, d'un côté, le système des Principia Mathematica; et, de l'autre, le système axiomatique de la théorie des ensembles établi par Zermelo-Fraenkel (et développé par J. von Neumann). Ces deux systèmes sont tellement larges que toutes les méthodes de démonstration utilisées aujourd'hui en mathématiques y sont formalisées, c'est-à-dire ramenées à quelques axiomes et règles d'inférence. On pourrait par conséquent supposer que ces axiomes et règles d'inférence suffisent pour décider de toute question mathématique qui pourrait s'exprimer formellement dans ces systèmes. Dans ce qui suit, nous montrerons que tel n'est pas le cas et qu'il existe au contraire dans ces deux systèmes des problèmes relativement simples concernant la théorie des entiers que l'on ne saurait trancher sur la base de ces axiomes. Cette situation n'est pas due, comme on pourrait le croire, à la nature spécifique des systèmes établis mais touche une très large classe de systèmes formels, à laquelle appartiennent en particulier tous les systèmes qui résultent des deux systèmes cités plus haut par addition d'un nombre fini d'axiomes, pourvu que, par ces axiomes, aucune proposition fausse ne devienne démontrable.

Les théorèmes d'incomplétude s'énoncent de la façon suivante :
  • Dans tout système formel consistant contenant une théorie des nombres finitaires relativement développée, il existe des propositions indécidables.
  • La consistance d'un tel système ne saurait être démontrée à l'intérieur de ce système.
Avec ces deux théorèmes, Gödel répond au deuxième problème de Hilbert : Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique ?  En d'autres termes, peut-on démontrer que les axiomes de l'arithmétique ne sont pas contradictoires ?

Pour démontrer le théorème d'incomplétude, Gödel reprend le paradoxe du menteur qui énonce cette phrase est fausse. Si cette phrase est fausse, elle est vraie. Inversement, si elle fausse, elle est vraie. Gödel réussi à formaliser ce type de paradoxe pour l'arithmétique en remplaçant la notion de vérité par celle de démonstration.

Gödel va utiliser une numérotation qui consiste à attribuer un nombre unique à chaque symbole du langage formel considéré. Par exemple, 1 est associé à la négation, 2 au ou logique, 3 à l'implication,... La numérotation de Gödel permet alors de définir une injection du système formel dans l'ensemble des entiers naturels .

Par exemple, l'assertion , qui signifie il existe x tel que x soit le successeur de y, sera transformée en la suite de nombres : 8 4 11 9   8 11 5 7 13 9. Cette suite de nombres est transformée en un entier grâce à la règle suivante : à partir de la suite de 10 nombres ci-dessus, on forme un nombre unique produit des 10 premiers nombres premiers où chacun est élevé à la puissance égale au nombre de Gödel de même rang de la suite :

.

De même, il est aussi possible d'associer un nombre de Gödel à une suite d'assertions. Considérons une suite formée de deux assertions. À chacune de ces deux assertions correspond un nombre. La suite d'assertions est alors associée au produit des deux premiers nombres premiers qui sont chacun élevés à la puissance égale au nombre de Gödel de l'assertion correspondante. Ainsi si m est le nombre de Gödel de la première asertion et n celui  de la deuxième, le nombre associé à cette suite d'assertions sera : .

À toute expression du système formel, que ce soit un signe, une suite de signes ou une suite de formules, il est donc possible d'associer un nombre unique. Inversement, par l'unicité de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers, à un nombre de Gödel correspond une expression du système formel.

Gödel définit ensuite la relation entre les nombres x et z, notée Dem(x,z), qui veut dire que la suite de formules associée au nombre de Gödel x est une démonstration de la formule de nombre de Gödel z.

On considère alors la formule G : . Cette formule veut dire qu'il n'existe pas de démonstration ayant pour nombre de Gödel x de la formule de nombre de Gödel z, c'est-à-dire que l'assertion qui porte le nombre de Gödel z n'est pas démontrable.

Gödel considère un cas particulier de cette assertion. Pour cela, on note sub(m,p,q) le nombre de Gödel de la formule obtenue en substituant à la variable de nombre de Gödel p dans la formule de nombre de Gödel m le nombre q. Ainsi, sub(n,13,n) est le nombre de Gödel obtenu à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n et dans laquelle on substitue à la variable de nombre 13 la variable n. Par exemple, si l'assertion possède le nombre de Gödel n, la variable qui possède le nombre 13, qui est y, est remplacée par le nombre n. L'assertion devient alors : .

Le cas particulier de G considéré par Gödel est :
.
Cette assertion signifie : pour tout nombre de Gödel x, la suite de formules associée au nombre de Gödel x ne démontre pas la formule obtenue en substituant le nombre n à la variable de nombre 13 dans la formule de nombre de  Gödel n. Ce qui veut dire aussi que l'assertion qui possède le nombre de Gödel sub(n,13,n) n'est pas démontrable.

Cette assertion particulière porte elle-même un nombre de Gödel. Le nombre de Gödel de G est sub(n,13,n). En effet, sub(n,13,n) est le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n en substituant le chiffre n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c'est-à-dire la variable y). Or, la formule a été obtenue à partir de la formule qui porte le nombre n en substituant à la variable y le chiffre n. Donc le nombre de Gödel de l'asserttion G est bien sub(n,13,n).

Or, l'assertion G affirme que l'assertion qui possède le nombre de Gödel sub(n,13,n) n'est pas démontrable. Donc, l'assertion G dit d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable.

Gödel démontre ensuite que si G est démontrable alors ~ G est aussi démontrable. Si G est démontrable, il existe un nombre de Gödel k tel que . On peut prouver que si la relation Dem(x,z) existe entre deux nombres alors cette relation est démontrable. Donc est démontrable et est démontrable. Cette dernière formule correspond à ~ G. Réciproquement, Gödel montre que si ~ G est démontrable, G l'est aussi. Le système formel est dons inconsistant.

De plus, l'assertion G est vraie. En effet, on a montré que l'assertion G n'est pas démontrable. Or, c'est justement ce qu'énonce G.

On vient de montrer que la consistance d'un système implique qu'il est incomplet, c'est-à-dire qu'il existe une formule vraie qui est indémontrable et dont la négation n'est pas non plus démontrable. La validité de cette formule ne pourra pas être déterminée dans le cadre du système formel.

Le second théorème de Gödel énonce que la consistance (ou la non-contradiction) du système formel, c'est-à-dire qu'aucune contradiction ne peut être prouvée à partir de ses axiomes, ne peut être démontrée à l'intérieur de ce système.

Avec le premier théorème d'incomplétude, on montre qu'à partir d'un système formel cohérent on aboutit à G. La consistance entraîne donc la formule G. Si on pouvait démontrer dans le système formel, la consistance, alors il s'en suivrait que G serait démontrable dans ce système formel. Or, la démonstration précédente montre que ce n'est pas le cas. Par conséquent, c'est qu'il est impossible de démontrer dans le système formel la consistance.

Mark Dominus donne une brève explication du théorème de Gödel en reprenant une idée de Raymond Smullyan. Pour plus de compléments sur le théorème de Gödel, on pourra lire les livres Le théorème de Gödel de Ernest Nagel, James R. Newman et Jean-Yves Girard qui réussit à vulgariser la démonstration du théorème de Gödel, ainsi que Gödel Escher Bach : Les Brins d'une guirlande éternelle de Douglas Hofstadter qui établit des parallèles entre les œuvres de Gödel, de l'artiste Maurits Cornelis Escher et du compositeur Johann Sebastian Bach. Les résumés de cours de Jacques Bouveresse au Collège de France de 2003 à 2006 sur Gödel sont disponibles : Kurt Gödel, mathématiques, logique et philosophie.

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